Puede parecer una pregunta muy básica, pero ¿qué significa un vector? ¿Qué significa $\mathbb{R}^d$ ¿Qué quiere decir y cómo indica a qué base se refiere? ¿Siempre asume la base "habitual" $e_1 = (1, 0, ... , 0)$ , $e_i$ etc.
Por ejemplo, considere:
$$x = \left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots \\ x_i\\ \vdots \\ x_d\\ \end{array} \right) $$
donde $x_i \in \mathbb{R}$ . La forma en que lo interpreté fue que $x$ yacía en algún espacio (con d vectores base) y cada índice del vector indicaba cuánto había que moverse según el vector base que correspondiera a esa "coordenada". Sin embargo, tenía una duda. ¿Cómo sé en qué base estoy trabajando? Porque el vector x podría apostar dos cosas completamente distintas dependiendo de cuál sea la base.
¿Tenemos que suponer siempre que trabajamos con la base "habitual"? es decir. $e_1 = (1, 0, ... , 0)$ etc.
La cuestión que me preocupaba era que quería definir una transformación lineal que mapeara elementos en algún espacio $X$ a los elementos de cualquier espacio nuevo $Y$ (aunque tal vez con una base "rara" de algún tamaño fijo).
Mi idea inicial era definir la siguiente transformación lineal:
$$T(x) = \left( \begin{array}{c} \langle x, a_1 \rangle\\ \vdots \\ \langle x, a_k \rangle\\ \vdots \\ \langle x, a_d \rangle\\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} x^Ta_1\\ \vdots \\ x^Ta_i\\ \vdots \\ x^Ta_d\\ \end{array} \right) $$
que al principio me pareció una buena idea porque cada componente indica la proyección en la dirección de $a_i$ (suponiendo que sean vectores unitarios). Sin embargo, me di cuenta de que sólo funcionaba si la gente sabía de antemano a qué base me refería y a eso me refería con "coordenada". De ahí que tuviera curiosidad por saber cuál era la forma precisa de hacer algo así. Además, ¿podemos decir que una transformación de este tipo mapea cosas en el espacio original X a $\mathbb{R}^d$ ? ¿O cómo se expresa rigurosamente el funcionamiento del mapa? ¿Abarca $\mathbb{R}^d$ ?
Sé que un mapa como:
$$ M(x) = \sum^{d}_{i=1} (x^Ta_i)a_i$$
técnicamente funcionaría, pero parecía un poco feo.
¿Hay alguna forma de definir una transformación lineal que asigne elementos a un nuevo vector base? Realmente quería usar algo similar a lo definido como $T(x)$ pero como no estaba seguro de si eso era legal o cómo hacerlo preciso/riguroso.
La razón por la que me gustaba tanto mi T(x) era porque me parecía una forma muy elegante y compacta de codificar esa información y, además, tenía el potencial de expresarse como un producto de matrices. Por ejemplo, consideremos un conjunto de vectores de interés $x_i$ y que sean las filas de la matriz X. Entonces creo que la siguiente ecuación expresa T(x) utilizando la multiplicación de matrices:
$$ T = XA $$
donde las columnas de A son las $a_i$ 's. Esta parece una buena forma de expresar T(x).
He tomado álgebra lineal antes, pero fue hace casi 4 años. Lo siento si esto es algo que se suponía que debía recordar.
