Necesito ayuda para demostrar que $F(x)/x^{1/q}$ va a $0$ como $x$ va a $0$ y $\infty$ .

Question

$1<p<\infty$ , $f\in L^{p}(0,\infty)$ , $p^{-1}+q^{-1}=1$ definir $$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt,$$ entonces necesito demostrar que $\frac{F(x)}{x^{\frac{1}{q}}}\rightarrow 0$ como $x\rightarrow 0$ y $x\rightarrow \infty$ .

Podemos escribir $F(x)=\int_{(0,\infty))}f{1}_{[0,x]}$ y desde $f\in L^p$ y la función indicadora está en $L^q$ aplicando lo que nos da Holder: $\frac{F(x)}{x^{\frac{1}{q}}}\leq ||f||_p$ . No sé cómo seguir. La pista dice que tengo que utilizar algún tipo de argumento de densidad después de esto, es decir, puede ser primero tenemos que demostrar que el resultado se mantiene en un subconjunto denso de $L^p$ y a partir de ahí, sinceramente no entiendo muy bien la indirecta. Gracias por vuestra ayuda.

Answer 1

Después de haber realizado la sustitución $t:=sx$ obtenemos $$F(x)=x\int_0^1f(xt)dt,$$ y utilizando la desigualdad de Hölder, $$|F(x)|\leqslant x\left(\int_0^1|f(xt)|^pdt\right)^{\frac 1p},$$ que da, haciendo de nuevo la sustitución, $$\frac{|F(x)|}{x^{\frac 1q}}\leqslant x^{1-\frac 1q}\left(\int_0^x\frac 1x |f(s)|^pds\right)^{\frac 1p}= \left(\int_0^x|f(t)|^pdt\right)^{\frac 1p}.$$ Podemos concluir lo siguiente $|f|^p$ es integrable.

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Otra solución sería la siguiente: considerar el mapa $T\colon L^p(0,\infty) \to L^\infty(0,+\infty)$ dada por $T(f)(x):=\frac{f(x)}{x^{\frac 1q}}$ . Aplicando la desigualdad de Hölder se obtiene que $\lVert T\rVert\leqslant 1$ . Por a $2\varepsilon$ -basta con mostrar el resultado cuando $f$ es una función simple (es decir, una combinación lineal de función característica de medida finita).