Demuestre que existe un número real positivo $x$ tal que $x^3 = 5$ .

Question

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

[En primer lugar, quiere mostrar $b = 5$ es un límite superior de $S$ .]

Así que, déjalo: $$S = \{x \in \Bbb R : x \gt 0, x^3 \le 5\}, S \neq \emptyset$$ Supongamos que $b = 5$ no es un límite superior de $S$ . Entonces, $\exists x \in S$ s.t. $x^3 \gt 5$ . Pero esto contradice la definición de $S$ . Por lo tanto, $b = 5$ es un límite superior de $S$ .

[A continuación, desea mostrar si $c \lt b$ entonces $c$ no es un límite superior].

Aquí es donde estoy atascado... ¿Se supone que debes elegir un épsilon aquí? He intentado esto también:

Sea $\epsilon \gt 0$ , $\epsilon = {b - c\over 2}$ . No estoy seguro de cómo proceder a partir de ahora.

Answer 1

El conjunto no es vacío porque $1\in S$ por lo que tenemos un subconjunto no vacío de $\mathbb R$ que tiene un límite superior entonces $S$ tiene un supremum, digamos $\alpha$ Reclama: $\alpha^{3}=5$ intente probar la afirmación.

Answer 2

Pista: ¿Es el conjunto vacío? ¿Cómo se sabe? Si tienes un conjunto no vacío de números reales con un límite superior, ¿qué más sabes?

5 es un límite superior, pero seguro que hay otros. ¿Cuál es piense en ¿es el mayor elemento de ese conjunto?

Answer 3

Lo que hay que hacer a continuación es establecer la existencia de una cota mínima superior. Debido a la propiedad del límite mínimo superior de los números reales, este número debe existir porque has demostrado que $5$ es un límite superior. Sea este LUB de $S$ sea $L$ que debe ser un número real positivo por definición.

Si $L^3 = 5$ hemos terminado. Ahora, supongamos $L^3 < 5$ . Intenta llegar a una contradicción.