Abrir Set en $\ell_1$ está abierto en $\ell_2$ o no

Question

¿Es el conjunto $P=\{x \in \ell^1:||x||_1<1\}$ un conjunto abierto en el espacio lineal normado $(\ell^1,||.||_2)$

Soy nuevo en el análisis funcional, así que He intentado encontrar contraejemplos a este problema pero no he conseguido ninguno. Tampoco he podido demostrar el enunciado. Escribí la definición de conjunto abierto en este caso e intenté avanzar pero no pude. Por favor, ayúdenme.

Edición 1

Creo que la afirmación es incorrecta. Si es cierta, entonces para cualquier $a=(a_n)\in P$ existe $\epsilon>0$ tal que $B_{||.||_2}(a,\epsilon) \subset P$

Así que para demostrar que no es cierto, elijo $a=(a_n)=(0,0,0,0 \dots)$

para cualquier $\epsilon>0$ tenemos $n_0 \in N$ tal que $\frac{1}{{n_0}^2}+\frac{1}{(n_0+1)^2}+\frac{1}{(n_0+2)^2}+\dots <\epsilon$

Elija $(x_n)=(\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0+1},\frac{1}{n_0+2},\dots \dots) \in B_{||.||_2}(a,\epsilon)$

pero $(\frac{1}{n_0},\frac{1}{n_0+1},\frac{1}{n_0+2},\dots \dots) \notin P $ como $\frac{1}{{n_0}}+\frac{1}{(n_0+1)}+\frac{1}{(n_0+2)}+\dots$ diverge

Por favor, verifique también mi solución.

Answer 1

Sea $x_n=0$ para todos $n$ y $y_n=\frac 1 n$ para $N_1 <n<N_2$ , $y_n=0$ para todos los demás $n$ . Entonces $\|x-y\|_2 \to 0$ como $N_1 \to \infty$ pero $\|y\|_1 \to \infty$ como $N_2 \to \infty$ . Por lo tanto no hay bola abierta alrededor $x$ en $\ell^{2}$ está contenida en la bola unitaria abierta en relación con $\ell^{1}$ .