Una cuestión sobre una formulación equivalente de función medible acotada sin signo

Question

El problema es:

Sea $f: \mathbb{R}^d \to [0,+\infty]$ . Demuestre que las dos afirmaciones siguientes son equivalentes.

$(i)$ $f$ es un función mensurable acotada sin signo .

$(ii)$ $f$ es el límite uniforme de una secuencia de funciones simples acotadas sin signo .

He hecho el $(ii) \to (i)$ parte que era sencilla, pero tienen confusión en la $(i) \to (ii)$ parte. Se nos da que $f$ es un función mensurable acotada sin signo . Como es una función medible sin signo, podemos escribirla como $$f=\lim_{n \to \infty}f_n$$ donde para todos $n$ , $f_n$ es un función simple sin signo . Me he ocupado de la delimitado de la siguiente manera ( por favor, vea si hay algún fallo técnico aquí ):

Por cada $\epsilon \in \mathbb{R}$ y $x \in \mathbb{R}^d$ , $\exists~ N=N(\epsilon, x) \in \mathbb{N}$ que puede depender de $x$ tal que $$\lvert f_n(x)-f(x)\rvert \leq \epsilon ~\forall~ n \geq N \cdots (\star)$$ Sabemos que $f$ está limitada. Así que $\exists~ B \in \mathbb{R}$ tal que $$\lvert f(x) \rvert \leq B ~\forall~ x \in \mathbb{R}^d$$ Junto con $(\star)$ y empleando el desigualdad triangular es fácil ver que $f_n$ está acotada, para todo $n \in \mathbb{N}$ .

Sólo queda demostrar que la convergencia es uniforme . ¿Qué puedo hacer aquí? Tenemos que deshacernos del dependencia de $N$ en $(\star)$ sobre la elección de $x$ . Creo que podemos utilizar la acotación de las funciones para demostrar que $\sup_{x \in \mathbb{R}^d} N(\epsilon, x)=N(\epsilon)$ es una cantidad finita y podemos utilizarla en $(\star)$ para mostrar una convergencia uniforme. Pero, ¿cómo hacerlo de forma rigurosa? Quizá esta línea de ataque sea trivial o quizá esté completamente fuera de lugar, así que disculpas por adelantado. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Hay una construcción que muestra esta dirección:

1. $f$ está acotado, wlog decir que está acotado por 1. Para cada natural $n$ romper el intervalo $[0,1]$ en $2^n$ intervalos de longitud $2^{-n}$ .
2. Etiqueta $A_i$ el $f$ -preimagen de $[i2^{-n},(i+1)2^{-n}]$ , $i=0,\dots 2^n$ .
3. Ahora se define una función simple $\phi _n$ como $$\phi _n=\sum _{i=1} ^{2^n} 2^{-n}i\chi _{A_i}$$
4. En $\phi _n$ convergen uniformemente a $f$