Fórmula sumatoria de Poisson

Question

Se dice que la transformada de Fourier $\hat{f}(\omega)$ de una función $f(t)$ y la transformada de Fourier $\hat{b}(\omega)$ de sus muestras $b(k)=f(t)|_{t=k}$ se relacionan mediante la fórmula sumatoria de Poisson y viene dada por

$$\hat{b}(\omega)=\displaystyle\sum_{k\in{\mathbb{Z}}}\hat{f}(\omega+2\pi{k})$$

donde

$$\hat{b}(\omega)=\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{Z}}b(k)e^{-i\omega k}, \omega\in{\mathbb{R}}.$$

No entiendo por qué, ¿es correcta esta ecuación?

Answer 1

He aquí un enfoque formal, tomado del libro de Rudin sobre análisis real y complejo. Sea $$ \varphi(t)=\frac{1}{2\pi} \int f(x)e^{-itx}\, dx $$ y $$ F(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(x+2k\pi). $$ Entonces $F$ es $2\pi$ -periódico y su $n$ coeficiente de Fourier es $\varphi(n)$ Por lo tanto $F(x)=\sum \varphi(n) e^{inx}$ . En particular, $$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(2k\pi) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \varphi(n). $$ En términos más generales, $$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k \beta) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \varphi(n\alpha) $$ siempre que $\alpha>0$ , $\beta>0$ , $\alpha \beta = 2\pi$ .

Answer 2

Sí, tu ecuación es correcta. Si quieres una prueba (corta) y algo de información sobre la fórmula de la Suma de Poisson (PSF), puedes consultar la página Página de Wikipedia . Otra forma que adopta esta ecuación es cuando se establece $\omega=0$ entonces se obtiene la muy simétrica $$\sum_{k\in\mathbb Z}\hat{f}(2\pi k)=\sum_{k\in\mathbb Z}b(k).$$ Una interpretación interesante de este resultado es a través de la Fórmula de trazas de Selberg . En efecto, esta fórmula de la traza dice que, en el círculo $S^1$ la traza del Laplaciano $-\Delta=-\frac{d^2}{dx^2}$ puede calcularse de dos maneras: el lado derecho de la PSF es simplemente la suma de los valores propios, mientras que el lado izquierdo puede interpretarse como la suma de las órbitas periódicas del flujo geodésico en el círculo. En resumen En este contexto, la PSF implica que las dos formas de calcular la traza del laplaciano darán el mismo resultado. Que es lo que cabría esperar.

Otra aplicación de la PSF es la demostración de la continuación analítica de la función zeta de Riemann y, en general, de las funciones L de Dirichlet.

Answer 3

Una interpretación informal de la fórmula de la suma de Poisson es que $$\hat{b}(\omega) = \sum_{k \in \mathbb Z}\hat{f}(\omega + 2\pi k)$$ es una función periódica de $\omega$ de período $2\pi$ y, por lo tanto representable como una serie de Fourier. Los coeficientes de esta serie de Fourier de Fourier son $b(k)$ . Si escribes la fórmula integral de coeficiente de Fourier y manipularlo un poco, entonces para razonablemente se obtiene la relación con la función $f(t)$ .