Forma determinante de la ecuación, 3 variables, tercer orden (nomograma)

Question

Estoy intentando poner la siguiente ecuación en forma de determinante: $12h^3 - 6ah^2 + ha^2 - V = 0$ donde $h, a, V$ son variables (se trata de un volumen para un tronco de pirámide con $1:3$ pendiente, $h$ es la altura y $a$ es el lado de la base, $V$ es el volumen).

El objetivo de identificar el determinante es construir un nomograma. No estoy seguro de si realmente se puede poner en forma de determinante, y tengo curiosidad por saber si hay una función de Mathematica que pueda hacer esto. He estado intentando con lápiz y bolígrafo como se indica a continuación aquí . Pero es de esperar que este enfoque se haya automatizado.

Agradecemos cualquier consejo.

Answer 1

En este caso, hay 6 términos linealmente independientes ( $a$ , $a^2$ , $h$ , $h^2$ , $h^3$ y $V$ ). Sin poder detectar un factor común en alguna parte no está claro que se puedan acomodar tantos términos (los tres términos en $h$ en particular, lo hacen difícil).

El criterio de Saint-Robert indica que no se puede hacer con tres ejes rectos.

Después de juguetear tratando de simplificarlo (intentando eliminar un término de varias maneras) para tratar de conseguirlo en una forma tratada por Clark, creo que tal vez el enfoque de Clark puede no ser suficiente, lo que sugiere que uno podría tener que ir a los laboriosos criterios de Warmus para ver incluso si es posible tal como está, pero debería volver atrás y comprobarlo con las condiciones de Massau o Lecornu primero.

Si se le permite reparametrizarlo para que sea en términos de digamos $p = \frac{h}{a}$ y $a$ o incluso más fácil, $q = 1 - \frac{h}{a}$ y $a$ entonces puedes llegar a alguna parte.

Si una buena aproximación está bien, se puede hacer con un nomograma de orden 4 (es decir, género I) bastante cerca, y uno puede generar mejores aproximaciones subiendo el orden, posiblemente* a una aproximación tan cercana en comparación con el error en el uso de un nomograma real "exacto" que no importaría - típicamente cualquier cosa por debajo de alrededor de medio por ciento de error, aunque con cuidado puede ser un poco más bajo; si se obtiene el peor error de aproximación mucho más bajo que eso, usted tendría problemas para distinguir un nomograma exacto de uno aproximado.

*(dependiendo del rango de valores que quieras cubrir, yo sólo he supuesto algunos valores para jugar con ello)

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Edición: Ahora veo que $\frac{V}{a^3}-\frac{1}{18}=(6\frac{h}{a}-1)^3/18$ .

Esto sugiere alguna posibilidad que implica un par de (posiblemente superpuestos o espalda con espalda) $N$ -pero actualmente no veo cómo hacerlo funcionar sin tener que dibujar varias líneas isopletas, lo que probablemente suponga más esfuerzo para el usuario final del que merece la pena.

Aun así, la observación puede ayudar a alguien a encontrar una forma de llevarlo más lejos.

Answer 2

Es un tipo de género 1 como se describe aquí con forma determinista:

$$\left| \begin{array}{ccc} 0 & V & 1 \\ 1 & 6a-a^2 & 1 \\ \frac{h}{h+1} & \frac{12h^3}{h+1} & 1 \end{array} \right|=0$$

Answer 3

Puedes demostrar, utilizando los criterios de Warmus, que la función no puede nomografiarse tal y como está escrita actualmente. A grandes rasgos, tiene cuatro independientes $h$ términos $(h^0, h^1, h^2, h^3)$ que no se pueden reducir más, pero sólo se pueden nomografiar directamente funciones en las que cada variable tenga hasta tres términos independientes ("rango 3").

En concreto, el hecho de que $h$ tiene rango 4 prueba que no hay funciones $f_i,g_i,h_i$ tal que:

$$F(a,h,V) = \det\left|\begin{array}{ccc}f_1(a) &f_2(a) &f_3(a)\\g_1(h)&g_2(h)&g_3(h)\\h_1(V) & h_2(V) & h_3(V)\end{array}\right|$$

Dicho esto, los criterios de Warmus sólo cubrir la forma existente de una expresión. Cubren todas las formas de agrupar términos de manera diferente, pero no tienen en cuenta ni siquiera las manipulaciones sencillas, como tomar logaritmos o cambiar variables, y no tienen en cuenta los nomogramas compuestos sencillos.

Así que no lo hemos descartado todo. Un nomograma es posible siempre que se puedan encontrar funciones tales que: $$F(a,h,V) = 0 \iff\det \left|\begin{array}{ccc}f_1(a) &f_2(a) &f_3(a)\\g_1(h)&g_2(h)&g_3(h)\\h_1(V) & h_2(V) & h_3(V)\end{array}\right|=0$$

y esa es una categoría mucho más amplia de lo que hemos descartado. Ocurre cuando el determinante de la derecha tiene los mismos ceros que la función de la izquierda, aunque los dos lados no coincidan en valores distintos de cero.