Sea $D \subseteq X$ sea un subconjunto infinito de $X$ y todo subconjunto infinito de $D$ tiene infinitos puntos de acumulación en $X$ ........

Question

Sea $X$ sea contable y $T_B$ ( todo subconjunto compacto es cerrado).

Sea $D \subseteq X$ sea un subconjunto infinito de $X$ y todo subconjunto infinito de $D$ tiene infinitos puntos de acumulación en $X$ .

Supongamos que $n_0 \in \omega$ sea el menor número entero s.t $x_{n_{0}}$ es un punto de acumulación en $D$ .

Así que..,

Si $V$ es un barrio en $x_{n_{0}}$ y $D - V$ es finito cada enumeración como $\{ y_n : n \in \omega \}$ de $D$ convergen a $x_{n_{0}}$ ?

Answer 1

Supongamos que $D\setminus V$ es finito para cada nbhd abierto $V$ de $x_{n_0}$ . Sea $\{y_n:n\in\omega\}$ sea cualquier enumeración de $D$ . Si $V$ es un nbhd abierto de $x_{n_0}$ , $D\setminus V$ es finito, por lo que existe un $m\in\omega$ tal que $y_n\in V$ siempre que $n\ge m$ . Así, la secuencia $\langle y_n:n\in\omega\rangle$ está eventualmente dentro de cada nbhd abierto de $x_{n_0}$ lo que por definición significa que converge a $x_{n_0}$ .