En la mecánica cuántica, ¿cómo es exactamente lo que hemos asociado Hermitian los operadores clásicos observables?

Question

En un primer curso de mecánica cuántica, todo el mundo aprende de alguna versión de la siguiente declaración:

Postulado: Para cada clásico observable $A$ de un sistema físico, le corresponde una Hermitian operador $\hat{A}$ de manera tal que una medición de $A$ realizado en un sistema en estado de $|\psi\rangle$ se espera (en el sentido probabilístico) para regresar $\langle \psi | A\psi \rangle$. Los posibles resultados de la medición corresponden a los autovalores de a $A$...

Luego uno se entera de que $\hat{x} = x$ es el operador correspondiente a la posición, $\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ es el operador correspondiente para el impulso, y de estos, uno puede construir los operadores de la cinética y la energía potencial, angular momenta, etc.

Pero, ¿qué pasa si queremos encontrar el operador correspondiente a algunos de los más complicados clásica observable, decir, $$ A = \frac{e^{\sin(x^2 p)}}{x+xp} + \cos\left(\frac{p}{x}\right)? $$ (Asumir que hemos escalado $x$ $p$ por algunos longitud característica y el impulso, de modo que se conviertan adimensional.) Concedido, este extraño cantidad podría no tener una convincente interpretación física, pero todavía es, en principio, un clásico observable, que puede ser calculada con conocimiento de $x$$p$. A mí me parece que si vamos a tomar este postulado en serio, no debería ser un bien definido el procedimiento que se asocia a ninguna función de $(x,p)$ un Hermitian operador que actúa sobre el adecuado espacio de Hilbert. ¿Qué es este procedimiento?

Más en general, si tenemos algún clásico de sistema de $S$ con la configuración de colector $M$, me parece que cualquier valor real de la función de $f: T^*\!M \to \mathbb{R}$ sobre el espacio de fase de $S$ (es decir, la cotangente del paquete de $M$) se define (en principio) un clásico de los observables de la cantidad. (O $f$ necesita ser continua/lisa?) La mecánica cuántica debe prescribir un mecanismo que asocia a ninguna de dichas $f$ algunos Hermitian operador $\hat{f}: L^2(M) \to L^2(M)$. ¿Qué es este mecanismo, y cómo funciona en general?

Answer 1

No existe ningún procedimiento único de asociar un Hermitian operador $L$ a una función del espacio de fase $f(x,p)$. La mecánica cuántica es una teoría que existe independientemente de la física clásica. La mecánica cuántica es no sólo una cereza en un clásico pastel que necesita de la teoría clásica de existir en cada momento. Si queremos definir una teoría cuántica, debemos definir una teoría cuántica. La definición no implican la búsqueda de una teoría clásica de los primeros, y luego encontrar una única teoría cuántica asociada con él.

Más en serio, no es natural isomorfismo entre el álgebra de operadores en el espacio de Hilbert; y el álgebra de funciones $f(x,p)$. La razón más sencilla es que el último es un álgebra conmutativa mientras que el primero no lo es. Por esta sencilla razón, una ingenua identificación de los elementos en ambos lados, simplemente tiene que estar mal.

La correcta relación entre la mecánica cuántica y la física clásica, siempre que ambos de ellos puede ser relevante, es exactamente el opuesto: la física clásica se deriva de la mecánica cuántica. Es derivada como un límite, el $\hbar\to 0$ límite. Pero incluso esta relación no es del todo universal. Existen las teorías cuánticas sin ningún tipo de límite clásico.

Podemos preguntarnos ¿cuáles son los Hermitian operadores de $L$, de forma que su $\hbar\to 0$ límite produce una función determinada, $f(x,p)$ sobre el espacio de fase. Pero la respuesta no es única. Las posibles soluciones pueden diferir en términos de que vaya a cero para $\hbar\to 0$.

Por ejemplo, la clásica observable $x^2 p^2$ podría "generar" el quantum operador $\hat x^2 \hat p^2$. Sin embargo, el último operador no Hermitian. Su Hermitian conjugado es $\hat p^2 \hat x^2$ que no es igual a la original. Si queremos un Hermitian operador, podemos hablar por ejemplo $$ \frac{ \hat x^2\hat p^2+ \hat p^2\hat x^2}{2} $$ pero también, por ejemplo, acerca de $$ \hat x \hat p^2 \hat x $$ Ambos son Hermitian e ingenuamente reducir a la clásica $x^2 p^2$. Sin embargo, estos dos Hermitian operadores son diferentes unos de otros. Se distinguen por un número múltiplo de $\hbar^2$, en este caso.

Por otro lado, expresiones tales como sus funciones complicadas, pero con sombreros – están bien definidos y calculable (posiblemente con la excepción de la singularidad en$x=0$$p=-1$, en el caso particular de su función). Por ejemplo, la exponencial de un operador puede ser calculado a través de la serie de Taylor $$\exp(\hat L) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\hat L^n}{n!} $$ Aún más complicadas funciones de los operadores son calculables. La función de $g(\hat L)$ de un operador $\hat L$ puede ser calculada por ejemplo, por diagonalizing $\hat L$ es decir, de la escritura $$\hat L = U \hat D U^\dagger $$ donde $D$ es diagonal. Entonces $$g(\hat L) = U g(\hat D) U^\dagger $$ Sin embargo, $g(\hat D)$ es fácil de calcular: se acaba de aplicar la función $g$ a cada elemento de la diagonal $\hat D$.

Por esta razón, incluso su función se define un operador, excepto por la singularidad de los problemas cerca de $x=0$$p=-1$. Así, debemos también precisar lo que entendemos por $p/x$ – no hay una simple división de los operadores. Si se define como $px^{-1}$, es algo más que el $x^{-1}p$ etc. debido a que los operadores no conmutan.

Sin embargo, es claro que aparte de todos estos pequeños problemas, el operador no será Hermitian porque $\hat x+\hat x\hat p$ no Hermitian y $\hat x^2 \hat p $ no Hermitian y en su seno no es Hermitian. Usted tendría que tomar el Hermitian parte(s) en algún momento para corregir el Hermiticity pero no hay una única manera de hacerlo, como se explicó anteriormente.

No hay forma natural de un operador para una función $f(x,p)$ que es dada por sus valores, es decir, sin una fórmula explícita. Esto es particularmente manifiesto si imaginamos que cada una de las $f(x,p)$ es una continua superposición de funciones, tales como la $\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$, apoyados por un punto en el espacio de fase.

Esta $\delta(x-x_0)\delta (p-p_0)$ no tiene buena cuántica contraparte porque quiere ser localizados tanto en la posición y el momentum. Pero el principio de incertidumbre prohíbe dicha localización. Uno podría asociar un mínimo de incertidumbre de Gauss con este producto de la delta-funciones, pero en realidad no es una "elección canónica".

Si sacrificamos la mayoría de las propiedades algebraicas, existe un uno-a-uno el mapa entre las funciones y las matrices, las matemáticas utilizados en la Wigner quasiprobability de distribución. Pero este mapa tiene algunas otras propiedades que podemos encontrar indeseables. El producto se asignan a la "producto estrella". También, una positiva definida operador genéricamente se asigna a una función que va negativos para algunos valores de $(x,p)$, y así sucesivamente.