Soluciones a $\sin(nx)=\sin(x)$

Question

A) ¿Cuántas soluciones hay para $\sin(nx)=\sin(x)$ para $0 \le x\le\frac{\pi}{2}$ si n es un número entero?

b) También hay una parte 2, en la que se te pide que encuentres las soluciones de sen(nx)=cos(x), con la misma restricción de dominio de $0\le x \le \frac{\pi}{2}.$

Lo intenté con una combinación del Teorema de DeMoive y la identidad de Euler, pero no pude avanzar.(Esto es de un libro de texto antiguo, de 1998).

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Aclaración: Sólo se necesita el número de soluciones, no una solución determinada. Se necesita una fórmula explícita para el número de soluciones.

Answer 1

(Estoy excluyendo $n=1$ de lo contrario todos los números reales son soluciones) Se puede utilizar la fórmula de la prostaféresis: $$\sin(nx)-\sin(x)=0$$ $$2\sin(\frac{n-1}{2}x)\cos(\frac{n+1}{2}x)=0$$ Hay dos posibilidades: $$\sin(\frac{n-1}{2}x)=0$$ $$\frac{n-1}{2}x=k\pi$$ $$x=\frac{2k}{n-1}\pi$$ Desde $k,n$ son genéricos: $$x=\pi q,\ \ q \in \mathbb{Q}$$ En el otro caso: $$\cos(\frac{n+1}{2}x)=0$$ $$\frac{n+1}{2}x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$ $$x=\frac{\pi}{n+1}+\frac{k}{n+1}2\pi$$ $$x=\frac{(2k+1)\pi}{n+1}$$ Desde $k,n$ son genéricos: $$x=\pi q , q \in \mathbb{Q}$$ Prácticamente para $n$ : $$x=q\pi , q \in \mathbb{Q}$$ Es una solución. Ahora tenemos que restringir las soluciones a $0<x<\pi/2$ : $$0<q\pi<\pi/2$$ $$0<q<1/2$$ Así que las soluciones a su familia de ecuaciones está completamente descrita por: $$x=q\pi,\ \ q \in \mathbb{Q} \cap ]0,1/2[ $$ Si desea que el número de solución en función de $n$ entonces, como dije antes del caso $n=1$ es trivial (supondré que $n\geq 0$ en el otro caso las ecuaciones que se obtienen son totalmente simétricas). Centrémonos en las soluciones del primer tipo. Tenemos que restringirlas a $0<x<\pi/2$ :

$$0<\frac{2k\pi}{n-1}<\pi/2$$ $$0<k<\frac{n-1}{4}$$ Por tanto, el número de soluciones del primer tipo es el número de números naturales entre $0$ y $\frac{n-1}{4}$ . Esto se puede expresar con la función de techo $$\lceil {\frac{n-1}{4}-1} \rceil$$ . Ahora tenemos que analizar el segundo tipo de solución, tenemos que excluir el caso en el que $n=-1$ porque el denominador sería 0, en ese caso se puede comprobar fácilmente que las soluciones son $k\pi$ por lo que no hay soluciones en $]0,\pi/2[$ . Vámonos: $$0<\frac{(2k+1)\pi}{n+1}<\pi/2$$ $$-1/2<k<\frac{n-1}{4}$$ Entonces (puesto que k es un número entero): $$0\leq k<\frac{n-1}{4}$$ Así que en este caso siempre hay $k=0$ como posible solución por lo que, el número de soluciones de segundo tipo son: $$\lceil {\frac{n-1}{4}-1} \rceil+1$$ Obsérvese que las soluciones de primer tipo y de segundo tipo son diferentes, ya que las primeras son $\pi$ múltiplos y los segundos no. Así que el número de soluciones en casos no triviales( $n=1,-1$ ) es: $$2\lceil {\frac{n-5}{4}} \rceil+1$$

Answer 2

Tenga en cuenta que, para cada $x\in (0,\frac\pi2)$ tal que $\sin nx =1 $ , $\sin nx $ cruza $\sin x$ dos veces. Por lo tanto, el número de soluciones es el doble del número de $\sin nx =1$ en $(0, \frac\pi2)$ con la excepción en $nx = \frac\pi2 + 2k\pi$ donde $\sin nx $ cruza $\sin x$ sólo una vez. Así, para $n> 1$ el número de soluciones es

$$ 2\left[\frac{n-1}4\right]+2,\>\>\> n \ne 4k+1$$

$$ 2\left[\frac{n-1}4\right]+1, \>\>\> n = 4k+1$$

Answer 3

pista

Si $n=1$ todos los reales son solución. Si $n=-1$ entonces $x=k\pi$ .

asuma $n^2\ne 1$ .

las soluciones de la ecuación $$\sin(X)=\sin(a)$$ son $$X=a+2k\pi$$ o $$X=\pi-a+2k\pi\;\;,\;\;k\in \Bbb Z$$

Así, tenemos $$nx=x+2k\pi$$

con $$0\le \frac{2k}{n-1}\le \frac{1}{2}$$ o $$nx=\pi-x+2k\pi$$ con $$0\le \frac{(2k+1)}{n+1}\le \frac{1}{2}$$