Número irracional multiplicado por su parte fraccionaria se convierte en racional (RESUELTO)

Question

He aquí un problema coreano de mitad de curso de secundaria con el que he estado luchando durante bastante tiempo.

" $X$ es un número irracional tal que $X>0$ et $Y$ es la parte fraccionaria de $X$ . Si $$X^2+Y^2=27$$ encuentra $X$ ."

Así que si decimos
$X=(Y+N)$ tal que $N=|X|$ obtenemos
$(Y+N)^2+Y^2=27$ que es
$(Y^2+2YN+N^2)+Y^2$
$=2(Y^2)+2NY+N^2=27$ .
Como ambos $N^2$ y $27$ son racionales, debemos demostrar que existe $Y$ y $N$ tal que
$2(Y^2)+2NY$ es racional, lo que también significa
$Y^2+NY$
$=Y(N+Y)$
$=XY$ es racional.
No encuentro tal número irracional que se convierta en un número racional al multiplicarlo por su parte fraccionaria.

¿Alguien puede decir cómo resolver este problema, o al menos demostrar si es solucionable/no solucionable?

Answer 1

$X$ está entre 5 y 6 porque $Y^2$ está entre 0 y 1. Escribe $X = 5 + Y$ y se obtiene una cuadrática en $Y$ que deberías ser capaz de resolver.

Answer 2

Para su pregunta interna $A=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ . Entonces $\{ A\} = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ y $A\cdot\{A\}=\frac{1}{2}$ .

En general, para cualquier $n,a$ con $0<a<4n+4$ lo has hecho:

$$\left\{\frac{n+\sqrt{n^2+a}}{2}\right\} = \frac{-n+\sqrt{n^2+a}}{2}$$

y:

$$\frac{n+\sqrt{n^2+a}}{2}\cdot\left\{\frac{n+\sqrt{n^2+a}}{2}\right\}=\frac{a}{4}$$

[Aquí estoy usando $\{x\}$ para la parte fraccionaria de $x$ .]

Answer 3

2(Y^2)+2NY es un número entero, lo que también significa que Y^2+NY es un número entero

no es cierto.

Pista: de $2Y^2+2NY+N^2=27$ pruebe con distintos valores de $0\le N<6$ y resolver para $0 < Y < 1$ .

Answer 4

$X=N+Y$ conduce a $$\tag127=X^2+Y^2=N^2+2NY+2Y^2 $$ En $0<Y^2<1$ concluimos $26<X^2<27$ Por lo tanto $\sqrt{26}<X<\sqrt{27}$ para que $N=\lfloor X\rfloor = 5$ . Entonces $(1)$ se convierte en $$2Y^2+10Y+25=27$$ y puede resolverse para $Y$ .

Answer 5

Desde $0<Y<1$ la parte entera de $X$ debe ser 5 (el mayor número entero cuyo cuadrado no supere 27. Después de algunas manipulaciones, se puede obtener $XY=1$ . A partir de ahí se puede resolver una ecuación cuadrática para $X$ y $Y$ .