Supongamos que $n>k>0$ son números enteros.
Sabemos que ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es un número entero.
¿Podemos encontrar $f(n,k)$ y algunos conjuntos $I,J \subset \mathbb{Z}_{>0}$ tal que $\sum_{i \in I, j \in J} f(i,j) = {n \choose k}$ donde $f(n,k) \in \mathbb{Z}_{>0}$ y está escrita sin el operador de división (es decir, no es una composición de funciones que incluya el operador de división)?
También, $I,J$ no puede definirse utilizando el operador de división o cualquier función que sea una composición del mismo (evitando casos triviales como $I = \{1,2, \dots, {n \choose k}\}, f(n,k) = 1$ )
En un caso similar sabemos $\frac{n(n+1)}{2}$ es un número entero y se puede escribir como $\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}$ es decir, sin el operador de división.
¿Podemos hacer un truco similar aquí?
Edito: añadiendo algunas restricciones a la pregunta para que sólo pueda interpretarse de una manera:
(1) $f:N_1 \times N_2 \to \mathbb{Z}_{>0}$ tal que $N_1,N_2 \subseteq \mathbb{Z}_{>0}$
(2) $f$ es una composición de algunos o todos los operadores siguientes: identidad, suma, resta, multiplicación y potencia, donde la potencia se limita a $\mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0}$ dominio.
(3) $I \subseteq N_1, J \subseteq N_2$
(4) $I,J$ puede definirse sin utilizar una función o con una función que cumpla (2)
