Acerca de las definiciones equivalentes de $H^{-1}$ Norma de Sobolev

Question

Recientemente, me han preocupado dos nociones de normas para la $H^{-1}$ Espacio de Sobolev. Para concretar la discusión, me gustaría aclarar que definimos $H^{-1}(\Omega) := H^1(\Omega)^*$ donde $\Omega$ es un determinado dominio suave y acotado. Obsérvese que esta definición es diferente del que aparece en el libro de texto clásico sobre EDP de Evans, que define el espacio como el dual de $H^1_0(\Omega)$ .

De hecho, está claro que se puede definir la norma sobre $H^{-1}(\Omega)$ utilizando la norma del operador, es decir, para cualquier $f \in H^{-1}(\Omega)$ tenemos $$ |f|_{H^{-1}}= \sup_{g \in H^1(\Omega), |g|_{H^1} = 1}\left|\int_\Omega fg dx\right|. $$ Por otro lado, se puede utilizar el laplaciano de Dirichlet inverso para dar: $$ |f|_{H^{-1}}= \int_\Omega f(-\Delta)^{-1}f dx, $$ donde $(-\Delta)^{-1}$ denota el laplaciano de Dirichlet inverso en $\Omega$ que es un operador positivo y, por tanto, define una norma.

Mi pregunta es: ¿es cierto que las dos definiciones anteriores coinciden? Si es así, ¿podría alguien darme una explicación o indicarme una referencia? Muchas gracias de antemano.

EDITAR: De hecho, una dirección está clara por la regularidad elíptica, ya que observamos que $(-\Delta)^{-1}f \in H^1_0$ para cualquier $f \in H^{-1}$ .

Answer 1

Creo que ahora tengo una respuesta definitiva a esta pregunta. Primera conclusión: las dos definiciones anteriores NO coinciden. De hecho, la norma $$ |f|_{-1} = \int f(-\Delta_D)^{-1}f dx $$ en realidad no define una norma sobre $H^{-1}$ pero en $H^{-1}_0 := (H^1_0)^*$ . Además, esta definición es equivalente a la norma del operador $$ |f|_{op} = \sup_{g \in H^1_0, |g|_1 = 1}\left|\int fg dx\right|, $$ donde utilicé $|\cdot|_1$ para denotar el $H^1$ norma. He aquí la prueba: (en la prueba, escribiré $A \lesssim B$ si existe alguna constante genérica $C$ sólo en función del dominio $\Omega$ tal que $A \le CB$ )

• $|f|_{-1} \lesssim |f|_{op}$ : por regularidad elíptica, tenemos inmediatamente la siguiente estimación: $$ \|(-\Delta_D)^{-1}f\|_1 \lesssim \|f\|_{-1}. $$ Además, observamos que $(-\Delta_D)^{-1}f \in H^1_0$ debido a la definición del laplaciano de Dirichlet. Simplemente tomamos $g = C(-\Delta_D)^{-1}f$ donde $C$ es un coeficiente normalizador tal que $|g|_1 = 1$ . Así se hace esta dirección.

• $|f|_{op} \lesssim |f|_{-1}$ para esta dirección, por propiedades espectrales de $-\Delta$ en un dominio suave y acotado $\Omega$ dejamos que $\lambda_k^2 > 0$ son los valores propios y $e_k$ son las funciones propias correspondientes. Entonces tenemos las siguientes definiciones equivalentes de $H^1_0$ norma y $|\cdot|_{-1}$ para $g \in H^1_0$ , $f \in H^{-1}_0$ , $$ |g|_1^2 \sim \sum_k \lambda_k^2|\hat{g}_k|^2,\; |f|_{-1}^2 = \sum_k \lambda_k^{-2}|\hat{f}_k|^2, $$ donde $\hat{g}_k,\hat{f}_k$ denotan los coeficientes de Fourier con respecto a la base $(e_k)_k$ . (Nótese que he utilizado implícitamente la desigualdad de Poincare cuando defino $|g|_1$ . Esto es válido ya que $g$ tiene traza cero). Ahora elegimos arbitrariamente $g \in H^1_0$ , $|g|_1 = 1$ . Obsérvese que por Cauchy-Schwarz: $$ \left|\int fg dx\right| \le \sum_k |\lambda_k||\lambda_k|^{-1}|\hat{g}_k\hat{f}_k| \le (\sum_k \lambda_k^2|\hat{g}_k|^2)^{1/2}(\sum_k \lambda_k^{-2}|\hat{f}_k|^2)^{1/2}\le |f|_{-1}. $$ Terminamos tomando supremum sobre $g$ .