¿Cuál es la cantidad conservada de un universo de escala invariante?

Question

Consideremos que tenemos un sistema descrito por una función de onda $\psi(x)$ . Entonces hacemos una copia exacta del sistema, y todo lo asociado con él, (incluyendo los engranajes internos de las partículas elementales, si los hay, así como el tejido del espaciotiempo), pero donde todas las distancias se multiplican por un número $k$ Así que $\psi(x) \to \psi(kx)$ consideramos el caso $k>1$ (si $k=-1$ esto es sólo la operación de paridad, por lo que para $k<0$ por lo poco que he leído sobre esto podríamos expresarlo como un producto de transformaciones P y "k").

Consideremos entonces que todos los observables asociados al nuevo sistema son idénticos al original, es decir, que las leyes del universo son invariantes a una transformación de escala $x\to kx$ .

Entonces, según el teorema de Noether, habrá una cantidad conservada asociada a esta simetría.

Mi pregunta es: ¿cuál sería esta cantidad conservada?

Editar: Aquí se menciona una discusión incompleta sobre la existencia de esta simetría: ¿Y si el tamaño del Universo se duplicara?

Editar2: Me gustan las respuestas, ¡pero me falta la respuesta para NRQM!

Answer 1

La simetría por la que preguntas suele denominarse transformación de escala o dilatación y, junto con las transformaciones de Poincare y las transformaciones conformes, forma parte del grupo de isometrías conformes del espacio de Minkowski. En una gran clase de teorías se puede construir un tensor de energía-momento "mejorado" $\theta^{\mu \nu}$ tal que la corriente de Noether correspondiente a las transformaciones de escala viene dada por $s^\mu=x_\nu \theta^{\mu \nu}$ . La integral de la componente temporal de $s^\mu$ es la carga conservada. Claramente $\partial_\mu s^\mu = \theta^\mu_\mu$ por lo que la conservación de $s^\mu$ es equivalente a la desaparición de la traza del tensor energía-momento. Cabe señalar que la mayoría de las teorías cuánticas de campos no son invariantes bajo transformaciones de escala y conformes. Las que sí lo son se denominan teorías de campos conformes y se han estudiado con gran detalle en relación con las transiciones de fase (en las que la teoría se vuelve invariante de escala en el punto de transición), la teoría de cuerdas (la teoría bidimensional en la hoja del mundo de las cuerdas es una CFT) y algunas partes de las matemáticas (el estudio de las álgebras de operadores de vértice es el estudio de un tipo particular de CFT).

Answer 2

Gracias por su amable pregunta. Está directamente relacionada con los temas de teorías de campos conformes . Encontré un hilo en otro foro donde supongo que tu pregunta ha sido respondida.
No obstante, intentaré resumir aquí los puntos principales y quizá añadir algunos puntos.

Simetrías en la relatividad general

En relatividades generales, las simetrías corresponden a un isometría de la métrica $g=g_{ab}dx^a dx^b$ , digamos $\varphi^\star g = g$ . Es decir, si te mueves a lo largo de la trayectoria de dicha simetría, ésta no cambia. Esto se puede expresar en términos de Derivada de Lie .
$$L_v g = 0$$ o $$\nabla_{(a}v_{b)} = 0$$

donde el paréntesis significa simetrización sobre índices y $v = \dot\varphi(t)$ es el campo vectorial asociado a $\varphi$ . Se pueden encontrar muy buenos cálculos introductorios al respecto en Robert M. Wald: Relatividad General et Introducción a la relatividad especial y general de Hans Stephani .

Si $n$ es una geodésica unitaria, la integración posterior de

$$Q=v_a n^a$$

conduce a cantidades conservadas desde $$n^a \nabla_a \left(Q = n^b v_b\right) = n^a n^b\nabla_b v_a + v_b n^a \nabla_a n^b\equiv 0 $$ debido a las ecuaciones de Killing y geodésicas.

Ejemplos famosos son la masa $M$ (o energía) para un espaciotiempo estacionario o momento angular $J$ para la simetría axial (sí, se puede asignar a un espaciotiempo un momento angular, me parecía desconcertante en primer lugar), $$M = 2\int_\Sigma \left( T_{ab}-\frac12 T^n_{\,n}g_{ab} \right)n^a \xi^b dV$$ $$J = -\int_\Sigma T_{ab}n^a \eta^b dV$$ dónde ahora $\xi$ es el vector de Killing estacionario, a menudo $\xi = \partial_t$ et $\eta$ , a menudo $\eta=\partial_\varphi$ se cumple para la simetría axial y $n$ es ahora vector perpendicular a una hipersuperficie espacial $\Sigma$ .

Isometrías conformes

Ahora, la situación es un poco diferente. A vector Killing conforme $c$ da lugar ahora a una simetría de la forma $$L_cg=\omega^2g$$ y el ecuación de Killing conforme definiendo implícitamente $\omega$ adopta ahora la forma $$\nabla_{(a}c_{b)} = \frac1n g_{ab}\nabla_d c^d$$

En tu caso, fuerzas $\omega = 1$ pero esto no es de gran importancia como se verá a continuación.

¿Qué ocurre con la "ecuación de conservación"? Tenemos $$n^a \nabla_a \left( n^b c_b\right) = \frac1n \left( \nabla_d c^d \right) n^a n_a$$

que sólo es cero si $n^a n_a = 0$ una geodésica nula. Por lo tanto, sólo para una clase muy especial de movimientos, aquí las partículas de luz, se encontrará una simetría. Pero esto era esperado ya que las transformaciones conformes no cambiarán los ángulos, por lo que el movimiento de la luz no se verá afectado.

No creo que sea una cantidad conservada en el sentido de Emmy Noether.

Atentamente

Robert

P.D.: Pido disculpas por cualquier inconveniente relacionado con la notación. Espero que todo quede claro por el contexto.

Answer 3

Por supuesto, Jeff Harvey te ha dado la respuesta perfecta y estandarizada: la invariancia de escala se reduce a la ausencia de traza del tensor tensión-energía. Pero la ausencia de traza no es realmente una "cantidad conservada" en el sentido habitual que usted esperaba.

Sin embargo, se puede transformar el problema en algo que sea una cantidad conservada en el sentido habitual.

En particular, puedes tomar tu universo de escala invariante e insertar un objeto puntual en un punto elegido que llamaré el origen. En la teoría cuántica de campos, esto se consigue actuando sobre el estado de vacío con un operador local en el origen.

Las transformaciones que demuestran la invariancia de escala no son más que expansiones radiales que mantienen intacto el origen. Las leyes de la física son invariantes bajo estas transformaciones, por suposición, y esta simetría es equivalente a la conservación de la dimensión del operador del párrafo anterior. Pero su conservación no con respecto a la evolución normal en el tiempo sino a la evolución en el "tiempo radial", $\ln(r)$ . En consecuencia, las dimensiones de todos los operadores están bien definidas en las teorías de escala invariante. En teorías de escala no invariante, dependerían de la escala de renormalización.

He añadido este ejercicio verbal para subrayar que las transformaciones de escala en una teoría invariante de escala son análogas -y en un sentido matemático muy bien definido, equivalentes- a las traslaciones ordinarias en el tiempo. Para ser un poco específicos, pensemos en las teorías euclidianas bidimensionales. La coordenada compleja $z$ puede escribirse como $\exp(a+ib)$ . Toma, $b$ es una variable angular periódica con periodicidad $2\pi$ . Sin embargo, $a$ es real y va de $-\infty$ a $+\infty$ .

Las transformaciones de escala no son otra cosa que las traslaciones ordinarias en $a$ que están vinculados a un Hamiltoniano. Por ejemplo, se expande $z$ $e$ -veces por desplazamiento $a$ por uno. Y de hecho, la invariancia de escala en 2 dimensiones implica la invariancia conforme completa - bajo todas las transformaciones que preservan los ángulos - así que en vez de mirar el $z=x+iy$ plano, puede mirar igualmente al $a+ib$ plano en el que la transformación de escala original parece una traslación ordinaria en el $a$ dirección. Por simetría conforme, la forma de la acción en el $z$ et $a+ib$ son idénticas.

En dimensiones superiores, no es del todo cierto que la invariancia de escala (y la simetría Lorentz/rotacional) implique la simetría conforme completa, pero en los casos importantes, es cierto, de todos modos.

Mis mejores deseos Lubos

Answer 4

Es un resultado estándar en la teoría de los fractales que cualquier conjunto de mapeados de contracción que no se solapen "demasiado" tendrá un atractor único, y además en principio estos atractores tienen alguna dimensión de Hausdorff; creo que esta es la cantidad invariante que estás buscando. Véase, por ejemplo Shakarchi y Stein volumen 3, capítulo 7, teorema 2.9.

Answer 5

Respuesta breve y estricta a la pregunta: el número de partículas es invariante (a gran escala).
Se sabe que el SM no preserva la energía, es decir, que Noether sólo es válido mientras la relación materia/espacio sea constante.
De las respuestas anteriores se desprende que no conoces ninguna teoría invariante de escala que respalde las leyes físicas.
La cuestión principal es: ¿cómo demostrar que las leyes físicas se cumplen en un modelo invariante de escala? Muchos físicos lo intentaron y fracasaron (Dirac, Canuto Hoyle y Narlikar , Maeder y Bouvier, Wesson).
Presentaré un resumen de ' Un modelo autosimilar del Universo desvela la naturaleza de la energía oscura de Alfredo G. Oliveira, presentado a PRX el 1 de julio de 2011. (¡Dios mío, mi nombre está en el periódico!)
Si adjuntamos un referencial a una partícula, digamos un átomo, arriba representado en gris, no podemos encontrar ninguna evolución. Es nuestra situación actual; miramos a nuestro alrededor en los laboratorios y estamos naturalmente cegados ante cualquier evolución.
La Pregunta menciona sólo una modificación de la longitud, la respuesta de Lubos también menciona una variación del tiempo, pero ese procedimiento se queda corto para tener un modelo autosimilar correcto. Hay que hacerlo de una manera "física":
Vamos a encoger un átomo (el átomo es nuestra referencia para la Masa, la Longitud, el Tiempo) del Pasado en la del Presente. Visto desde una referencia invariante externa 'S'(Espacio) la Unidad de Longitud cambió, y también la Unidad de Masa cambió y también la unidad de Tiempo cambió porque la velocidad de la luz es la constante c - es una propiedad del campo/espacio.
Es evidente que un observador atómico (limitado a su referencia atómica) ve una expansión del espacio. El corrimiento al rojo cosmológico de la luz de las galaxias (lejanas en el tiempo y en la distancia) traza el hecho de que los procesos atómicos fueron más lentos en el pasado en comparación con los del presente.
Sea $M(t_S)=Q(t_S)=L(t_S)=T(t_S)=\alpha(t_S)$ la relación que describe la evolución de las unidades a través del tiempo, vistas por S en relación con las unidades del observador atómico ( $\alpha(t_S)$ es la ley de escala).
Se deriva en el documento, utilizando sólo las leyes de la física, sin hacer hipótesis, y partiendo sólo de los datos medidos que la ley de escala es $\alpha(t_S) = e^{-H_0\cdot t_S}$ .
Citando la Resumen y conclusiones

Henry Poincaré analizó cómo adquirimos la información, destacando la naturaleza relativa de nuestros datos y que nuestra elección de unidades sirve a la conveniencia de obtener la forma más simple para las leyes físicas;
Einstein analizó cómo calibramos los marcos de referencia, cómo atribuimos coordenadas a los sucesos, cuál es el tipo de unidades de tiempo y longitud que utilizamos;
aquí, la reflexión sobre este tema se extiende a las propiedades de las unidades, lo que nos permitió comprender que la invariancia de las partículas en unidades estándar es una propiedad de estas unidades y no de las partículas; también quedó claro cómo la expansión del espacio puede trazar un fenómeno autosimilar y se descubrió una importante propiedad, hasta entonces inadvertida, de las unidades de las constantes de campo, que es capaz de sustentar la dilatación espacial observada. A partir de dos resultados observacionales aceptados, la invariancia de las constantes y la dilatación escalar del espacio, y considerando que la dilatación espacial observada es consecuencia de un fenómeno autosimilar, se deduce un modelo que verifica las pruebas cósmicas clásicas así como el $\Lambda$ CDM a pesar de tener un solo parámetro, el parámetro de Hubble. Este modelo tiene características sorprendentes, a saber:
(1) No existe ningún conflicto teórico con las leyes físicas fundamentales, salvo por un nuevo término en una ley de conservación, que está más allá de las posibilidades actuales de medición directa.
(2) Los sistemas de unidades estándar pierden su papel privilegiado, ya que las leyes físicas son válidas también en un sistema de unidades espacial, comoving.
(3) En unidades estándar, este modelo admite la misma descripción del universo del $\Lambda$ C A pesar de que este modelo de escala no es un modelo cosmológico, aporta algunas contribuciones a la cosmología, a saber:
(1) El espacio es más antiguo que la materia.
(2) La materia, el campo y la radiación evanescen en unidades espaciales.
(3) La falta de tendencia al colapso gravitatorio tiene una explicación sencilla.
(4) Se aclaran los papeles de la energía oscura y de la inflación cosmológica.
Este artículo es sólo el primero de un conjunto de tres; el segundo analiza las consecuencias de este modelo a escala del sistema solar y el tercero analiza la estructura a gran escala del universo.
Hasta ahora, el conocimiento del universo se establecía en unidades whe invariantes; estas unidades son muy convenientes para describir sistemas de cuerpos pero, cuando se utilizan para describir propiedades espaciales, el resultado es desconcertante. Haber superado esta limitación es un logro importante de este trabajo.

Por supuesto, uno puede argumentar: "¡No creo que eso pueda ocurrir con los átomos!", y yo replicaré: "¿Cómo puede expandirse el espacio?".
El documento está disponible aquí (el arxiv está cerrado para mi amigo Alfredo, probablemente ni siquiera Perelman puede usar arxiv ya). Conozco este modelo desde 1991, y una versión preliminar se puede encontrar en el arxiv con fecha de 2002; en aquel entonces el público no estaba preparado para leer este modelo y es mi expectativa que hemos evolucionado a una posición más madura.