En cuanto al supuesto del Modelo de Regresión Lineal Clásica

Question

Para el modelo dado $y = x\beta + \varepsilon$ los cuatro supuestos serían

1. El modelo es lineal en $x$ et $\beta$ también aditivo en $\varepsilon$
2. La media condicional de los términos de error es cero (es decir. $E[\varepsilon|x] = 0)$
3. $Var[\varepsilon|x] = \sigma^2I_n$
4. Exogeneidad de $x$ (es decir $x$ es fijo o independiente de $\varepsilon$ )

Mi pregunta es que en el caso de las siguientes situaciones que supuestos se han violado.

Caso 1. $E[x'\varepsilon] \neq 0$ [No estoy seguro de si esto implica que se ha violado el segundo o el cuarto supuesto].

Caso 2. $Cov(x_i,\varepsilon_i) \neq 0$ [Supongo que se ha violado el tercero, pero ¿podría implicar la violación de otros supuestos?].

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Le animo a reescribir el Caso 1 en forma matricial con sólo 1 variable e i=3 observaciones. Esto le daría que el valor esperado del producto interno de la i-ésima variable y el i-ésimo residuo es 0. Espero que esto deje claro que el Caso 1 viola los supuestos 2 y 4 (ya que los supuestos 2 y 4 son el mismo).

El caso 2 incumple los supuestos 2, 3 y 4. Para verlo, puede reescribir la covarianza como el producto de la desviación típica de las variables, la desviación típica de los residuos y la correlación de las variables y los residuos. Si la covarianza indicada en el caso 2 es distinta de cero, entonces los tres factores son distintos de cero. Esto significa que la correlación de las variables y los residuos es distinta de cero (también conocida como endogeneidad [violación del supuesto 4 y, por tanto, del 2]).

En cuanto a la hipótesis 3, si existe una covarianza distinta de cero entre las variables explicativas y los términos de error, es evidente que la varianza de los términos de error no es constante.