¿Cómo se puede tener en cuenta $x^4-6x^3+8x^2+2x-1?$

Question

La pregunta original es:

Resuelve esta ecuación para x:

$$(x^2-3x+1)^2-3(x^2-3x+1)+1=x$$

Lo he ampliado y simplificado para obtener $$x^4-6x^3+8x^2+2x-1=0$$

Como ni -1 ni 1 son factores, parece que las raíces serán fraccionarias. ¿Cómo puedo proceder a partir de aquí? Gracias.

Answer 1

Nótese que la ecuación inicial tiene la siguiente forma: $$f(f(x))=x$$ donde $f(x) = x^2 -3x+1$

Así que las raíces de $f(x)=x$ serán raíces de su ecuación inicial. Resuelve esta ecuación cuadrática y obtendrás 2 raíces. Otras 2 raíces las puedes obtener de la factorización de polinomios de 4 grados.

Answer 2

Una pista: $f(x)=x^2(x-3)^2-(x-1)^2$

Answer 3

Deje $f(x) = x^2 -3x + 1$

Tenga en cuenta que la ecuación original es en la forma $f(x)^2 - 3f(x) + 1 = x$, y el lado izquierdo es equivalente a $f(f(x))$.

Así que usted sabe que las raíces son las raíces de $f(f(x)) = x$.

Aplicar la función inversa a ambos lados para obtener $f(x) = f^{-1}(x)$.

Gráficamente, la función inversa es formado por la reflexión de la función en la línea de identidad $y = x$. Esto implica que los dos puntos de intersección entre la $y=f(x)$ $y=x$ le dan la raíces.

Así que todo lo que tenemos que resolver es $x^2 - 3x + 1 = x$ o $x^2 - 4x + 1 = 0$.

(Por supuesto, es estrictamente apropiado hablar de una función inversa, ya que el cuadrática no es bijective. Si usted quiere ser riguroso, se podría dividir el dominio para hacer el mismo argumento).

Answer 4

Primero aplica la prueba de la raíz racional al polinomio. Obtendrás una lista de posibles raíces. Recorre la lista introduciendo el valor de x en la función, hasta que obtengas una posible raíz. Una vez que tengas esta raíz, divide la función por esa raíz (SUGERENCIA: Utiliza la división sintética). Obtendrás una respuesta. Este cociente será un polinomio de 4 términos. Entonces factoriza este polinomio de 4 términos. (si no sabes cómo hacerlo, busca en Google). Una vez que obtengas eso, multiplícalo por la raíz original que encontraste con un + o - 1 sobre ella, dependiendo de la raíz. (si la raíz es (-) entonces le sumas uno, si la raíz es (+) le restas uno).

Tu respuesta debería ser así.

 (4 term factor answer)*(other part of 4 term factor answer)*(root +- 1)

Y lo tienes calculado.