Hallar la probabilidad de la desviación típica de la muestra dada una población distribuida normalmente

Question

Para una muestra aleatoria de tamaño $n,$ si los valores se toman del $N(a, b)$ población, ¿cuál es la probabilidad de que $S$ (où $S^2$ es la varianza de la muestra) superará un valor determinado? He pensado en dos enfoques. Por favor, hágamelo saber cuál es correcto

1. Desde $(n-1) S^2/\sigma^2$ se distribuye chi al cuadrado, ¿puedo decir que la raíz cuadrada del término en el LHS se distribuye normalmente?

2. Utilice $x-\mu/(S/\sqrt{n})$ que se distribuye t para encontrar la respuesta

Answer 1

1. No entendí a qué LHS te referías, pero la raíz cuadrada de $\chi^2(n)$ no es normal (o tal vez no es lo que querías decir). Además, casi has encontrado el intervalo creíble que buscabas. Puesto que $\cfrac{(n - 1) S^2}{\sigma^2}$ es $H = \chi^2(n-1)$ puedes decir $\mathbb{P} \Bigg( \chi^2_{\frac{\alpha}{2}, n-1} \leq H \leq \chi^2_{1 - \frac{\alpha}{2}, n-1} \Bigg) = 1 - \alpha$ multiplica el interior por $\sigma^2$ y obtener $\mathbb{P} \Bigg( \cfrac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}, n-1}} \leq \sigma^2 \leq \cfrac{(n - 1) S^2}{\chi^2_{1 - \frac{\alpha}{2}, n-1}} \Bigg) = 1 - \alpha$ . Para exactamente $\sigma$ y no $\sigma^2$ entonces puedes sacar una raíz cuadrada. Fíjate también $S^2$ es la varianza insesgada de la muestra.

Answer 2

He aquí su problema para un caso concreto: Supongamos que $n = 10, \sigma = 15,$ y su valor de corte $c$ tiene $c^2 = 200.$

Entonces, $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \mathsf{Chisq}(\nu=n-1).$ Así que $$P(S > c) =P(S^2 > c^2) = P\left(\frac{9S^2}{225} > \frac{9(200)}{225} = 8\right)\\ = P(Q > 8) = 1 - P(Q\le 8) = 0.5341,$$ donde $Q\sim\mathsf{Chisq}(\nu=9).$ Puede evaluarlo probabilidad (al menos aproximadamente) a partir de tablas impresas de distribuciones chi-cuadrado o (exactamente) utilizando software. Utilizando R, donde pchisq es una FCD chi-cuadrado, la respuesta se obtiene de la siguiente manera:

1 - pchisq(8, 9)
[1] 0.5341462

En la figura siguiente, el área bajo la curva de densidad debe estar a la derecha de la línea de puntos vertical.

curve(dchisq(x, 9), 0, 30, lwd=2, ylab="PDF", xlab="q", main="")
abline(h=0, col="green2");  abline(v=0, col="green2")
abline(v = 8, col="red", lwd=2, lty="dotted")