Pregunta sobre el módulo fielmente plano

Question

Sea $\phi: R \rightarrow S$ sea un homomorfismo de anillo. Demostrar que $S$ es fielmente plana $R$ -si $\phi$ es inyectiva y $S/\phi(R)$ es un módulo R plano

Aunque soy capaz de demostrar que fielmente plano implica la inyectividad, no soy capaz de demostrar $S/\phi(R)$ es plana $R$ -módulo. Por lo tanto, cualquier ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Consideremos la secuencia exacta corta de $R$ -módulos $$0\rightarrow R\xrightarrow{\phi}S\rightarrow \frac{S}{\phi(R)}\rightarrow 0$$ Arreglar cualquier $R$ -módulo $M$ . Entonces obtenemos una secuencia exacta larga en homología $$...\rightarrow Tor_2^R\left (\frac{S}{\phi(R)},M\right )\rightarrow Tor_1^R(R,M)\rightarrow Tor_1^R(S,M)\rightarrow Tor_1^R\left( \frac{S}{\phi(R)},M\right)\rightarrow M \rightarrow M\otimes S\rightarrow M\otimes \frac{S}{\phi(R)}\rightarrow 0 $$ Sabemos que $Tor_1^R(S,M)=Tor_1^R(R,M)=0$ .

Desde $S$ es fielmente plana también sabemos $M \xrightarrow{m\mapsto m\otimes 1} M\otimes S$ es un mapa inyectivo. Así, la secuencia exacta larga nos da $$Tor_1^R\left( \frac{S}{\phi(R)},M\right)=0$$ para cualquier $R$ -módulo $M \implies \frac{S}{\phi(R)} $ es un plano $R$ -módulo.

Edita:

Desde $S$ es fielmente plana sabemos $N\otimes S=0\implies N=0$

Supongamos que $m\otimes 1=0$ en $M\otimes S\implies m\otimes s=0$ en $M\otimes S$ considerando el mapa $id\otimes \lambda_s :M\otimes S\rightarrow M\otimes S$ donde $\lambda_s$ es la multiplicación del mapa por $s$ .

Así pues, podemos concluir $Rm\otimes S=0\implies Rm=0\implies m=0$