Ejemplo de $\pi$ -espacio metrizable

Question

Un espacio Tychonoff $X$ es $\pi$ -metrizable si y sólo si tiene un $\sigma$ - $\pi$ -base.

Por favor, ayúdenme a encontrar algún ejemplo de $\pi$ -espacio metrizable.

¿Es cierto que cada $\pi$ -¿el espacio metrizable es un espacio de moscú?

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Para un espacio $X$ ,

Una colección de conjuntos abiertos no vacíos $\mathcal{A}$ se denomina $\pi$ -base si para cada conjunto abierto $O$ existe $U \in\mathcal{A}$ tal que $U\subset O$ .

Answer 1

Teorema $3.4$ de Derrick Stover, En $\pi$ -espacios metrizables, sus imágenes continuas y sus productos". dice que si $X$ es cualquier espacio de Tikhonov, y $D$ es el espacio discreto de cardinalidad $\pi w(X)$ entonces $X\times D^\omega$ es $\pi$ -metrizable; que proporciona bastantes ejemplos. En concreto, dejemos que $\kappa$ sea cualquier cardinal infinito, sea $D$ sea el espacio discreto de cardinalidad $\kappa$ y que $X=D^\kappa$ . Entonces $d(X)=\kappa$ por el Teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery Así que $\pi w(X)=\kappa$ y $X\cong X\times D^\omega$ es $\pi$ -metrizable.

Sin embargo, del corolario $2.12$ de A. V. Arhangel'skiǐ, Espacios moscovitas y grupos topológicos Arriba. Proc. 25 (2000), 383-416, que si $X\times D^\omega$ es Moscú, entonces también lo es $X$ . Así, $X\times D^\omega$ es un $\pi$ -espacio metrizable que no es Moscú si $X$ no es Moscú.

Answer 2

Algunos otros ejemplos:

Ejemplo 1: Todo espacio discreto $X$ tiene un $\sigma$ -localmente finito $\pi$ -base.

Ejemplo 2: $\mathbb R$ con la topología uaual tiene un $\sigma$ -localmente finito $\pi$ -base.