Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional
$$\int_{-1}^1 t^2 \dot{x}^2 dt$$
cuando $x(-1) = -1$ y $x(1) = 1$ .
Esto es lo que hice:
\begin{align} \delta J(x)(h) &= \frac{d}{d \epsilon} J(x + \epsilon h)|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 t^2(\dot{x} + \epsilon \dot{h})^2 dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 t^2(\dot{x}^2 + 2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + \dot{h}^2 \epsilon^2) dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 (t^2\dot{x}^2 + 2t^2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + t^2\dot{h}^2 \epsilon^2) dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 \frac{d}{d \epsilon} (t^2\dot{x}^2 + 2t^2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + t^2\dot{h}^2 \epsilon^2) dt |_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 (2t^2 \dot{x} \dot{h} + 2t^2\dot{h}^2 \epsilon) dt |_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 (2t^2 \dot{x} \dot{h}) dt\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{1}{3}t^3 \right]|_{t = -1}^{t = 1}\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right]\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{2}{3}\right]\\ &= \frac{4}{3} \dot{x} \dot{h} \end{align}
No estoy seguro de haberlo hecho correctamente. Si lo he hecho correctamente, entonces ¿sólo tengo que integrar mi resultado para utilizar mis condiciones dadas de $x(-1) = -1$ y $x(1) = 1$ ?
