Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional
∫1−1t2˙x2dt
cuando x(−1)=−1 y x(1)=1 .
Esto es lo que hice:
δJ(x)(h)=ddϵJ(x+ϵh)|ϵ=0=ddϵ[∫1−1t2(˙x+ϵ˙h)2dt]|ϵ=0=ddϵ[∫1−1t2(˙x2+2˙x˙hϵ+˙h2ϵ2)dt]|ϵ=0=ddϵ[∫1−1(t2˙x2+2t2˙x˙hϵ+t2˙h2ϵ2)dt]|ϵ=0=∫1−1ddϵ(t2˙x2+2t2˙x˙hϵ+t2˙h2ϵ2)dt|ϵ=0=∫1−1(2t2˙x˙h+2t2˙h2ϵ)dt|ϵ=0=∫1−1(2t2˙x˙h)dt=2˙x˙h[13t3]|t=1t=−1=2˙x˙h[13+13]=2˙x˙h[23]=43˙x˙h
No estoy seguro de haberlo hecho correctamente. Si lo he hecho correctamente, entonces ¿sólo tengo que integrar mi resultado para utilizar mis condiciones dadas de x(−1)=−1 y x(1)=1 ?