Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional $\int_{-1}^1 t^2 \dot{x}^2 dt$ cuando $x(-1) = -1$ y $x(1) = 1$ .

Question

Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional

$$\int_{-1}^1 t^2 \dot{x}^2 dt$$

cuando $x(-1) = -1$ y $x(1) = 1$ .

Esto es lo que hice:

$$\begin{align} \delta J(x)(h) &= \frac{d}{d \epsilon} J(x + \epsilon h)|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 t^2(\dot{x} + \epsilon \dot{h})^2 dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 t^2(\dot{x}^2 + 2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + \dot{h}^2 \epsilon^2) dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \frac{d}{d \epsilon} \left[\int_{-1}^1 (t^2\dot{x}^2 + 2t^2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + t^2\dot{h}^2 \epsilon^2) dt \right]|_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 \frac{d}{d \epsilon} (t^2\dot{x}^2 + 2t^2 \dot{x} \dot{h} \epsilon + t^2\dot{h}^2 \epsilon^2) dt |_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 (2t^2 \dot{x} \dot{h} + 2t^2\dot{h}^2 \epsilon) dt |_{\epsilon = 0}\\ &= \int_{-1}^1 (2t^2 \dot{x} \dot{h}) dt\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{1}{3}t^3 \right]|_{t = -1}^{t = 1}\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right]\\ &= 2\dot{x} \dot{h} \left[\frac{2}{3}\right]\\ &= \frac{4}{3} \dot{x} \dot{h} \end{align}$$

No estoy seguro de haberlo hecho correctamente. Si lo he hecho correctamente, entonces ¿sólo tengo que integrar mi resultado para utilizar mis condiciones dadas de $x(-1) = -1$ y $x(1) = 1$ ?

Answer 1

Aquí se equivoca:

$$\int_{-1}^1 2t^2 \dot x \dot h dt = 2 \dot x \dot h \bigg[ \frac{1}{3} t^3 \bigg]_{t=-1}^{t=1}$$

Nota $x(t)$ , $h(t)$ son funciones, no puedes sacarlas de la integral. En su lugar, se hace integración por partes:

$$\int_{-1}^1 2t^2 \dot x \dot h dt = -\int_{-1}^1 (2t^2 \dot x)' hdt$$

(Suponiendo $h$ es cero en el límite).

Answer 2

El funcional es

$$J(x)=\int_{-1}^{1}F(t,x,\dot{x}) \, dt$$

donde

$$F(t,x,\dot{x})= t^2\dot{x}^2.$$

Ajuste de la variación de $J$ igual a cero debería conducir a la ecuación de Euler-Lagrange

$$F_x - \frac{d}{dt}F_{\dot{x}}=0.$$

De dónde,

$$\frac{d}{dt}[2t^2\dot{x}]=4tx'+2t^2x''=0.$$

Su error es tratar $\dot{h}$ como una constante en lugar de una función de $t$ .