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Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional 11t2˙x2dt cuando x(1)=1 y x(1)=1 .

Hallar la curva de primera variación que corresponde a la funcional

11t2˙x2dt

cuando x(1)=1 y x(1)=1 .

Esto es lo que hice:

δJ(x)(h)=ddϵJ(x+ϵh)|ϵ=0=ddϵ[11t2(˙x+ϵ˙h)2dt]|ϵ=0=ddϵ[11t2(˙x2+2˙x˙hϵ+˙h2ϵ2)dt]|ϵ=0=ddϵ[11(t2˙x2+2t2˙x˙hϵ+t2˙h2ϵ2)dt]|ϵ=0=11ddϵ(t2˙x2+2t2˙x˙hϵ+t2˙h2ϵ2)dt|ϵ=0=11(2t2˙x˙h+2t2˙h2ϵ)dt|ϵ=0=11(2t2˙x˙h)dt=2˙x˙h[13t3]|t=1t=1=2˙x˙h[13+13]=2˙x˙h[23]=43˙x˙h

No estoy seguro de haberlo hecho correctamente. Si lo he hecho correctamente, entonces ¿sólo tengo que integrar mi resultado para utilizar mis condiciones dadas de x(1)=1 y x(1)=1 ?

2voto

user99914 Puntos 1

Aquí se equivoca:

112t2˙x˙hdt=2˙x˙h[13t3]t=1t=1

Nota x(t) , h(t) son funciones, no puedes sacarlas de la integral. En su lugar, se hace integración por partes:

112t2˙x˙hdt=11(2t2˙x)hdt

(Suponiendo h es cero en el límite).

1voto

RRL Puntos 11430

El funcional es

J(x)=11F(t,x,˙x)dt

donde

F(t,x,˙x)=t2˙x2.

Ajuste de la variación de J igual a cero debería conducir a la ecuación de Euler-Lagrange

FxddtF˙x=0.

De dónde,

ddt[2t2˙x]=4tx+2t2x

Su error es tratar \dot{h} como una constante en lugar de una función de t .

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