¿Para qué sirven las álgebras de Hopf en física?

Question

Álgebra de Hopf es un objeto bonito lleno de estructura (una bialgebra con una antípoda). Para tener una idea de cómo es, el grupo en sí es un álgebra de Hopf, considerada sobre un campo con un elemento ;) multiplicación usual, comultiplicación diagonal, unidades obvias e inversa para la antípoda. Para un ejemplo menos patológico, un álgebra de grupo y un álgebra universal envolvente pueden convertirse en álgebras de Hopf de forma bastante natural. Obviamente, todo esto está relacionado con la teoría de representaciones y muchas otras cosas interesantes.

Hasta aquí lo relacionado con las matemáticas. Ahora, he oído que también debería haber algunas aplicaciones a la física.

• Por un lado, (y esto será muy vago y probablemente también erróneo) los diagramas de Feynman deberían llevar de algún modo una estructura de álgebra de Hopf con la multiplicación dada por la unión de dos líneas en un vértice y la comultiplicación como división. Me recuerda a los cobordismos, pero no estoy seguro de que tenga sentido. ¿Alguna idea de si algo así funciona?

• Además de eso, he oído a gente intentar formalizar la renormalización usando álgebras de Hopf. He encontrado algunos artículos, pero no estoy seguro de por dónde empezar. ¿Alguien puede dar una visión general de cómo funciona esto y si está llevando a alguna parte?

• ¿Algo más? Lo siento, si esto es demasiado vago y en realidad hay toda la industria de la física Hopfy. Si es así, intenta dar algunos ejemplos importantes, preferiblemente con referencias.

Answer 1

Esta es una versión ampliada del comentario que hice antes. Se refiere únicamente a la aplicación de las álgebras de Hopf a la renormalización en la teoría cuántica de campos y a la combinatoria de los diagramas de Feynman. Otros han mencionado otras aplicaciones de los grupos cuánticos y las álgebras de Hopf a la física de baja dimensión, etc.

La renormalización de los grafos de Feynman multilazo conlleva el problema de desentrañar las divergencias procedentes de varios subgrafos y eliminarlas todas adecuadamente mediante contrapartidas locales. Esto se puede hacer sistemáticamente en la teoría de perturbaciones trabajando desde un bucle hacia arriba y llevando la cuenta del orden de bucle en el que contribuye cada contratérmino, por ejemplo, por las potencias de la constante de Planck. Llevando a cabo este procedimiento a ciegas, uno no puede cometer un error y en N bucles, todas las subdivergencias son eliminadas por contraterms de orden hasta N-1, dejando sólo una divergencia local global que puede ser eliminada por un nuevo contraterm de orden N. Sin embargo, puede ser útil saber a priori Por ejemplo, cómo renormalizar un diagrama multilazo dado sin tener que recorrer todo el camino desde un lazo hacia arriba. La solución combinatoria recursiva a este problema fue encontrada por Bogoliubov, Parasiuk, Hepp y Zimmermann (BPHZ).

Kreimer observó originalmente que el anidamiento de divergencias puede codificarse en un grafo arborescente orientado, cuya raíz corresponde al diagrama de Feynman completo, los demás nodos a sus subdiagramas, y un enlace que conecte dos nodos expresa el hecho de que un diagrama es un subconjunto del otro. A todos estos árboles enraizados se les puede dar la estructura de un álgebra de Hopf. A grandes rasgos, un coproducto de un árbol viene dado por todas las escisiones en "ramas cortadas" y el "resto del árbol", conectado a la raíz. En términos físicos, esto corresponde a todas las formas en que uno puede reducir diferentes subdiagramas de Feynman en puntos. La antípoda del álgebra de Hopf contiene entonces exactamente la misma información que la recursión BPHZ.

El álgebra de Hopf de Kreimer sólo depende de la topología de los diagramas de Feynman. Además, la resolución de solapamiento divergencias dentro de este marco es sutil. Por ello, Connes y Kreimer propusieron definir una estructura de álgebra de Hopf directamente sobre los diagramas de Feynman. Esta formulación trata las divergencias anidadas y superpuestas en pie de igualdad y está diseñada para permitir una estructura adicional, como la estructura tensorial de los diagramas o la dependencia del momento externo. De forma similar al anterior, el coproducto se define por todas las divisiones del diagrama de Feynman en un subdiagrama y un gráfico en el que este subdiagrama se sustituye por un vértice de contratérmino. El antípoda codifica de nuevo la recursión BPHZ. Dentro de este enfoque, se puede mostrar, por ejemplo, que las identidades de Ward en QED generan un ideal en el álgebra de Hopf, y la renormalización se puede llevar a cabo en el álgebra de Hopf factorial correspondiente. Esto sólo expresa en términos matemáticos el hecho bien conocido de que la renormalización preserva la invariancia gauge.

Como he señalado antes, se puede encontrar una ligera introducción a este tema en mi tesis de diplomatura de 2002, disponible en mi página de inicio. Lamentablemente, está escrito en checo, por lo que recomiendo a quienes no sean checos/eslovacos, por ejemplo, el artículo de revisión de Kreimer, hep-th/0202110 .

Hasta aquí, esto era para los amantes de las matemáticas ordenadas. Para los demás, ahora viene la decepción: ¿para qué sirve realmente todo esto? Como señalaba @Luboš Motl en su comentario, más vale que esta idea, por muy matemáticamente elegante que sea, también aporte algo a la física. Dudo que pueda mejorar nuestra comprensión física de la renormalización en la teoría cuántica de campos; eso está bien resuelto desde Wilson. Sin embargo, parece algo que podría ser útil para automatizar los cálculos multilazo. Por ejemplo, Broadhurst y Kreimer en hep-th/9912093 utilizó el formalismo para resumir y renormalizar diagramas cadena-arco iris en la teoría de Yukawa hasta 30 bucles con una alta precisión numérica. Sin embargo, he preguntado a un colega experto en cálculos multilazo y me dice que este enfoque no se ha generalizado. Parece que sólo lo defienden más o menos sus inventores. ¿Darle la espalda a un campo en el que yo mismo he trabajado? Eso es ciencia :)

Answer 2

Esto es esencialmente una adición a la lista de @4tnemele

Me gustaría añadir a esta lista algunos trabajos anteriores, en concreto, Discrete Gauge Theory.

La teoría gauge discreta en 2+1 dimensiones surge al romper una simetría gauge con grupo gauge $G$ a alguna parte inferior discreto subgrupo $H$ a través de un mecanismo de Higgs. Los portadores de la fuerza ("fotones") se vuelven masivos, lo que hace que la fuerza gauge tenga un alcance ultracorto. Sin embargo, como el grupo gauge no está completamente roto, todavía tenemos el efecto Aharanov-Bohm. Si H es abeliano, este efecto AB es esencialmente una "fuerza topológica". Da lugar a un cambio de fase cuando una partícula hace un bucle alrededor de otra. Esta es la idea de la estadística fraccionaria de los anyones abelianos.

Los tipos de partículas que podemos construir en una teoría de este tipo (es decir, los que son "de color neutro") están completamente determinados por el grupo gauge residual y discreto $H$ . Para ser más precisos: se dice que una partícula está cargada si transporta una representación del grupo H . El número de tipos diferentes de partículas que llevan una carga es entonces igual al número de representaciones irreducibles del grupo H. Esto es similar a la teoría ordinaria de Yang-Mills, donde las partículas cargadas (quarks) llevan la representación fundamental del grupo gauge (SU(3). En una teoría gauge discreta podemos etiquetar todos los posibles tipos de partículas cargadas utilizando la teoría de representaciones del grupo gauge discreto H.

Pero también pueden existir otros tipos de partículas, concretamente las que transportan flujo. Estas partículas portadoras de flujo también se conocen como monopolos magnéticos. En una teoría gauge discreta, las partículas portadoras de flujo se etiquetan con el símbolo clases de conjugación del grupo H . ¿Por qué clases de conjugación? Bien, podemos etiquetar las partículas portadoras de flujo mediante elementos del grupo H. Una transformación gauge se realiza mediante conjugación, donde $ |g_i\rangle \rightarrow |hg_ih^{-1}\rangle $ para todos los estados de las partículas $|g_i\rangle$ (supresión de la etiqueta de coordenadas). Dado que los estados relacionados por transformaciones gauge son físicamente indistinguibles, las únicas partículas portadoras de flujo únicas que tenemos están etiquetadas por clases de conjugación.

¿Eso es todo? No. También podemos tener partículas que transportan tanto carga como flujo: son los llamados diones. Se etiquetan tanto por un irrep como por una clase de conjugación del grupo $H$ . Pero, por razones en las que no entraré, no podemos tomar todas las combinaciones posibles de cargas y flujos posibles.

(Tiene que ver con la distinguibilidad de los tipos de partículas. Esencialmente, un dyon está etiquetado por $|\alpha, \Pi(g)\rangle$ donde $\alpha$ es una clase de conjugación y $\Pi(N(g))$ es una representación del normalizador asociado $N(\alpha)$ de la clase de conjugación $\alpha$ .)

El inconveniente de este enfoque es la configuración bastante desigual de las partículas portadoras de flujo (que se etiquetan por clases de conjugación), las partículas cargadas (etiquetadas por representaciones) y los diones (flujo+carga compatible). El álgebra de Hopf (cuasitriangular) proporciona una imagen unificadora. $D(H)$ también conocido como doble cuántico del grupo $H$ .

En este idioma todos son representaciones (irreducibles) del álgebra de Hopf $D(H)$ . Un Álgebra de Hopf está dotada de ciertas estructuras que tienen contrapartidas muy físicas. Por ejemplo, la existencia de un producto tensorial permite la existencia de múltiples configuraciones de partículas (cada partícula etiquetada por su propia representación del álgebra de Hopf). La dirección co-multiplicación entonces define cómo actúa el álgebra en este espacio tensado. la existencia de un antípodas (que es un cierto mapeo del álgebra a sí misma) garantiza la existencia de un antipartículas . La existencia de una unidad etiqueta el vacío (=partícula trivial).

También podemos ir más allá de la estructura de un álgebra de Hopf e incluir la noción de una matriz R. De hecho, el álgebra de Hopf cuasitriangular (es decir, la doble cuántica) hace precisamente esto: añadir el mapeo de la matriz R. Esta matriz R describe lo que ocurre cuando una partícula hace un bucle alrededor de otra (trenzado). Para grupos no abelianos $H$ esto conduce a estadísticas no abelianas. Estas álgebras de Hopf cuasitriangulares también se conocen como grupos cuánticos.

En la actualidad, el lenguaje de la teoría gauge discreta ha sido sustituido por estructuras más generales, denominadas teorías topológicas de campo, modelos de Anyon o incluso categorías tensoriales modulares. El tema es enorme, muy rico, muy físico y muy divertido (si eres un poco empollón ;)).

Fuentes:

http://arxiv.org/abs/hep-th/9511201 (teoría gauge discreta)

http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/ (notas de clase: consultar el capítulo 9. ¡Muy accesible!)

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9707021 (un modelo reticular simple con anyones. Aunque definitivamente hay artículos de revisión más accesibles de este modelo por ahí).

http://arxiv.org/abs/0707.1889 (artículo de revisión, que incluye posibles realizaciones físicas)

Answer 3

Puedo mencionar algunas aplicaciones en física de la materia condensada, pero debo advertir que no sé casi nada de álgebras de Hopf.

En el campo del orden topológico (y la computación cuántica topológica), Álgebras de Hopf se ha utilizado recientemente para construir algunos modelos muy generales con campos gauge emergentes, orden topológico y anyones (no abelianos) entre otros usos. Véase, por ejemplo

1. Una jerarquía de estados de redes tensoriales topológicas
2. Dualidad eléctrico-magnética y orden topológico en el enrejado

Pero creo que las álgebras de Hopf son algo nuevo en este campo. Grupos cuánticos por otra parte se ha utilizado durante más tiempo, por ejemplo para estudiar el efecto Hall cuántico fraccionario

1. Grupos cuánticos y trenzado no abeliano en sistemas Hall cuánticos

Pero la principal herramienta en este campo es categorías tensoriales modulares ( $\mathbb C$ -categorías monoidales aditivas, con estructura de trenzado y algunas más). Hay muchos artículos que citar, pero uno al azar es

1. Clasificación de los órdenes topológicos 2D fermiónicos y bosónicos

Creo que la principal conexión entre estos enfoques tiene su origen en el hecho de que muchas fases topológicas de la física de la materia condensada (en el límite de baja energía/longitud de onda) se describen mediante teorías de Chern-Simons no abelianas. Y existen conexiones bien conocidas con la teoría de nudos, las categorías tensoriales modulares, la teoría de representaciones de grupos de clases cartográficas, los grupos cuánticos y las álgebras de Hopf (estoy seguro de que usted sabe mucho más que yo sobre esto).

Espero que le sirva esta respuesta, bastante vaga.

Answer 4

http://arxiv.org/abs/hep-th/9904014 de Brouder y http://arxiv.org/abs/q-alg/9707029 de Kreimer es, para mí, la aplicación más desconcertante, haciendo un coproducto de árboles que, cuando fue formalizado por Connes, proporcionó un ángulo diferente a la renormalización perturbativa. Se pueden encontrar muchas referencias en el arxiv, pero no una monografía definitiva.

Answer 5

Creo que en este tipo de matemáticas lo que se espera es que al ordenar un proceso complejo como la regularización/renormalización mediante una estructura relativamente ordenada -como es el caso del álgebra de Hopf- se nos dé una pista sobre algo muy diferente que no se nos habría ocurrido hacer si hubiéramos dejado las cosas desordenadas. Diferentes tipos de orden pueden sugerir ideas muy diferentes para probar a continuación. Feynman dice en un momento dado (me encantaría que alguien me dijera dónde, quizás en una pregunta, si no es así) que uno debería probar todas las formas matemáticas que se le ocurran para plantearse un problema, dedicar mucho tiempo a encontrar las relaciones entre las distintas formas, luego reflexionar sobre el problema, lo que puede sugerir una nueva forma matemática de plantearse el problema, y luego reflexionar de nuevo. Repetir hasta que surja algo publicable. Desde este punto de vista, creo que las álgebras de Hopf son algo con lo que cualquiera que quiera hacer investigación seria en Física tiene que familiarizarse, porque son seriamente ordenadas, sean útiles o no para sus propósitos actuales.

Para la Física, sin embargo, he llegado a pensar que las álgebras de Hopf están demasiado ligadas a la teoría de perturbaciones y a los diagramas de Feynman como para llevarnos a un terreno de juego conceptual diferente. Me alegra que se demuestre lo contrario, por supuesto.

El nivel de abstracción de las álgebras de Hopf está lo suficientemente cerca de mis límites matemáticos como para que interiorizarlas haya resultado todo un reto. Tengo la sensación de que nadie ha encontrado aún la manera de presentar las álgebras de Hopf a un nivel de concepto y utilidad propios de la ingeniería. Sospecho que la tercera o cuarta monografía podría llegar a ese punto, pero aún no hemos tenido ni siquiera la primera. Tampoco he visto todavía un artículo de revisión que haya dado en el clavo. Creo que una presentación a nivel de ingeniería encontrará un mercado listo, porque aunque el colega experto de Tomáš Brauner y otros no hayan utilizado mucho estos métodos, uno puede estar seguro de que de vez en cuando él y otros expertos se preguntan si sería una buena idea utilizarlos y si podría ser útil enseñar al menos algunos aspectos de la renormalización utilizando algo como las álgebras de Hopf.