Hablaré sobre todo de la física clásica, que ya es bastante complicada (puede que mencione algo sobre la cuántica al final). Así pues, aclaremos primero todos los términos relevantes para evitar confusiones. En particular, debemos precisar lo que entendemos por invarianza porque ya se han metido en el mismo saco dos nociones diferentes.
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Un grupo de simetría de un sistema físico es un conjunto de transformaciones que dejan invariante el sistema. Por ejemplo, el campo eléctrico de una carga puntual es invariante bajo rotaciones respecto a ese punto. En otras palabras, queremos que el grupo actúe trivialmente. Pero esto significa que se descarta inmediatamente cualquier ecuación que lleve índices tensoriales (es decir, transformaciones en una representación no trivial del grupo de rotación). Para estas ecuaciones, si se realiza una rotación, la ecuación será cambiar . Por supuesto, cambiará de una manera fácilmente descriptible y otro observador estará de acuerdo. Pero la diferencia es crucial. Por ejemplo, en la mecánica cuántica clásica exigimos que las ecuaciones sean escalares siempre (lo que se refleja en el hecho de que el hamiltoniano se transforma trivialmente bajo el grupo de simetría).
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Llevar a cabo una acción de grupo es un término más amplio que incluye las ecuaciones tensoriales que hemos omitido en el punto anterior. Sólo requerimos que las ecuaciones o estados estén siendo actuados por un grupo. Nótese que la acción del grupo no tiene por qué estar relacionada con la simetría. Por ejemplo, tome la carga puntual y trasládela. Esto sin duda producirá un sistema diferente (al menos si hay algún trasfondo para que podamos distinguir realmente los puntos).
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Un grupo galga de un sistema es un conjunto de transformaciones que dejan invariantes los estados. Esto significa que los estados reales del sistema son clases de equivalencia de órbitas del grupo gauge. Explícitamente, consideremos la ecuación ${{\rm d} \over {\rm d} x} f(x) = 0$ . Esto tiene solución $g(x) \equiv C$ para cualquier $C$ . Pero si postulamos que el grupo gauge de la ecuación está formado por las transformaciones $f(x) \mapsto f(x) + a$ entonces identificamos todas las soluciones constantes y nos quedamos con una única clase de equivalencia de ellas -- este será el estado físico. Esto es lo que hacen los grupos gauge en general: nos permiten tratar las clases de equivalencia en términos de sus constituyentes. Obviamente, los grupos gauge son completamente redundantes. La razón por la que la gente trabaja con grupos gauge en primer lugar es que la descripción del sistema puede simplificarse tras la introducción de estos parámetros adicionales que "ven" en la clase de equivalencia. Por supuesto el proceso histórico fue al revés: como la formulación gauge-teórica es más simple, esto es lo que la gente descubrió primero y sólo se dieron cuenta de la presencia de los grupos gauge después.
Ahora, dicho esto, veamos el electromagnetismo (primero en el espacio plano). ¿Bajo qué simetrías son invariantes las ecuaciones de Maxwell? Se podría decir bajo el grupo de Lorentz pero en realidad no es así. Veámoslo más detenidamente. Como ya hemos dicho, la ecuación $$\partial_{\mu} F^{\mu \nu} = J^{\nu}$$ no puede ser realmente invariante ya que lleva un índice vectorial. Se transforma en la representación de cuatro vectores del grupo de Lorentz, sí, pero desde luego no es invariante. Contrasta con el propio espacio-tiempo de Minkowski, que es invariante por el grupo de Lorentz.
También tenemos ${\rm d} F = 0$ y por tanto (en un espacio-tiempo contractible) también $F = {\rm d} A$ que obviamente es invariante respecto a $A \mapsto A + {\rm d} \chi$ . En términos de la discusión anterior, la clase de equivalencia $A + {\rm d} \Omega^0({\mathbb R}^{1,3})$ es el estado físico y la transformación gauge nos permite distinguir entre sus constituyentes
Pasemos ahora a un espaciotiempo curvo. Entonces tenemos $$\nabla_{\mu} F^{\mu \nu} = J^{\nu}$$ De nuevo, esto no es invariable bajo ${\rm Diff}(M)$ . Pero se transforma bajo una acción de ${\rm Diff}(M)$ . Lo único a la vista que es invariable bajo ${\rm Diff}(M)$ es $M$ (por definición).
Del mismo modo, la RG no es invariante bajo ${\rm Diff}(M)$ pero sólo se transforma bajo una determinada acción de la misma (aunque diferente de EM, ya que las ecuaciones de GR llevan dos índices). También, ${\rm Diff}(M)$ no puede ser un grupo gauge de ninguno de estos sistemas, ya que implicaría que casi todas las configuraciones de campo posibles se reducen a una única clase de equivalencia, posiblemente indexada por algún invariante topológico que no puede ser modificado por un difeomorfismo. En otras palabras, la teoría con ${\rm Diff}(M)$ como grupo gauge tendría que ser puramente topológico sin grados de libertad locales.
