Caracterización de la moda de una distribución

Question

Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)$ sea una función de densidad de probabilidad continua sobre $\mathbb{R}$ s \begin{equation} \int_{\mathbb{R}} |x| f(x)\, dx < \infty, \end{equation} y asumir que $f$ tiene un máximo global estricto $x_0$ es decir $f(x) < f(x_0)$ para todos $x \neq x_0$ . Para cualquier $q \in (0,1]$ considerar el problema \begin{equation} \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx. \end{equation}

(I) ¿Podemos encontrar condiciones sencillas para $f$ tal que para algún $\epsilon > 0$ y cada uno dado $q \in (0,\epsilon)$ ¿existe una solución única a este problema?

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Supongamos que para todo $q$ suficientemente pequeño el problema tiene una solución única, \begin{equation} x_q= \arg \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx. \end{equation}

(II) ¿Podemos concluir que $x_q \rightarrow x_0$ para $q \rightarrow 0$ ?

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Encontré esta última propiedad enunciada en una monografía sobre estadística aplicada sin ninguna prueba.

Muchas gracias de antemano por su amable atención.

NOTA (1). Para $q=1$ las soluciones de nuestro problema de minimización son todas las medianas de las distribuciones definidas por $f$ : ver ¿Por qué la mediana minimiza $E[|X-c|]$ . Por lo tanto, una simple condición que asegure que para $q=1$ nuestro problema tiene una solución única es que $f > 0$ .

NOTA (2). Se pueden hacer preguntas análogas sobre el rango medio. Supongamos además que $f$ tiene un soporte compacto $S$ y poner $a= \min S$ y $b = \max S$ . Si definimos la medida de probabilidad \begin{equation} \mu(A)=\int_{A} f(x)dx \end{equation} para cada conjunto $A$ en el Borel $\sigma$ -álgebra $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ y consideramos para cada función medible $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la norma $||g||_{\infty}= \operatorname{ess} \sup |g|$ con respecto al espacio de medidas $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ entonces el problema \begin{equation} \min_{y \in \mathbb{R}} || \mathbb{1} -y||_{\infty}, \end{equation} donde $\mathbb{1}(x)=x$ para todos $x \in \mathbb{R}$ tiene como única solución la gama media $x_{\infty}=(a+b)/2$ .

Ahora podemos preguntar:

(I') ¿Existen condiciones sencillas para $f$ tal que para cada $q$ mayor que $M > 0$ existe una solución única al problema \begin{equation} \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx? \end{equation}

(II') Supongamos que se verifican estas condiciones, y pongamos \begin{equation} x_q= \arg \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx. \end{equation}

¿Tenemos $x_q \rightarrow x_{\infty}$ como $q \rightarrow \infty$ ?

Answer 1

En cuanto a la pregunta (I), no existe esencialmente ninguna condición simple sobre $f$ garantizar la unicidad de la solución del problema \begin{equation} \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx. \end{equation} El hecho es que la función $x \mapsto |x|^q$ no es convexo para $q \in (0,1)$ ni $f$ puede ser una función convexa, ya que es una función de densidad de probabilidad. Así que no podemos decir mucho sobre la integral de convolución \begin{equation} F_q(y) = \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx \end{equation} El único caso muy especial que se me ocurre en el que la unicidad está garantizada es el siguiente. Supongamos que $f \in C^1(\mathbb{R})$ que tiene un soporte compacto y que $f$ es simétrica en torno a $x_0$ . Sin pérdida de generalidad podemos tomar $x_0=0$ para simplificar la notación. Entonces tenemos \begin{equation} F'_q(y) = \int_{\mathbb{R}}|x|^{q} f'(y-x) \,dx = \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f'(x) \,dx = \int_{0}^{\infty} -f'(x) [|x+y|^q - |x-y|^q ] dx. \end{equation}

Ahora, para cualquier $x > 0$ tenemos $|x+y|^q - |x-y|^q > 0$ para $y >0$ y $|x+y|^q - |x-y|^q < 0$ para $y < 0$ . Así que $F'_q(y) < 0$ para $y < 0$ y $F'_q(y) > 0$ para $y > 0$ y $x_0=0$ es el único mínimo global de $F_q$ .

De todos modos, esencialmente la pregunta (II) tiene sentido incluso si la unicidad de la solución de nuestro problema de minimización no está asegurada. En efecto, si llamamos $S_q$ el conjunto de todos los minimizadores del problema \begin{equation} \min_{y \in \mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}}|y-x|^{q} f(x) \,dx, \end{equation} entonces podemos preguntarnos si $S_q$ "encoge" a $x_0$ cuando $q \rightarrow 0$ en el sentido de que para cada $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $S_q \subset (x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)$ para cada $q \in (0,\delta)$ .

Maurice Fréchet ha respondido negativamente a esta última pregunta en su obra Valores típicos de orden cero o infinito de un número aleatorio Véase el contraejemplo en las páginas 16-19. Para más discusión y referencias sobre este tema ver mi post Medias q y moda de una distribución .