Según MDPR, los conjuntos c.e. son iguales que los conjuntos diofantinos. Una definición existencial de $\Bbb Z$ en $\Bbb Q$ resolvería el décimo problema de Hilbert sobre $\Bbb Q$ .
La idea no es tan descabellada, basta con introducir un par $(a,b)$ de enteros (supongo que un par de pares de naturales, pero eso es un detalle) y si $b \vert a$ te detienes y si no lo hace corres para siempre. Así que los pares $(a,b)$ para los que el algoritmo se detiene son números racionales que en realidad son enteros y si no lo hace son números racionales que no son enteros.
N.B. Esto es tan sencillo que sé que no puedo estar en lo cierto. Mucha gente mucho más experimentada que yo lo ha intentado y ha fracasado con métodos mucho más complicados. Esto es más una petición para explicar por qué esto es incorrecto.
Lo que supongo que podría ser mi suposición incorrecta:
- Puedes simplemente dar un algoritmo que distinga entre enteros y racionales y por MDPR el conjunto c.e. que este algoritmo produce es un conjunto Diofantino y por lo tanto una definición Diofantina de $\Bbb Z$ en $\Bbb Q$ .
- Puedes colar los enteros en mi algoritmo definiendo los racionales como pares de enteros y no preocuparte por la circularidad.
