Mostrar $\left| \oint \frac{\sin z}{z^{5}}dz \right| \leq 2e\pi$

Question

Demuestra que $$\left| \oint \frac{\sin z}{z^{5}}dz \right| \leq 2e\pi $$

Mi intento:

He resuelto la integral sin el valor absoluto, pero no sé cómo llegar a la desigualdad. Tampoco sé si mis cálculos son correctos.

$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$$

Aquí tenemos $f(z)=\sin z$ , $z_0=0$ , $n=2$ . Por lo tanto, tenemos $$ \oint_{|z|=1} \frac{\sin z}{z^{5}}\,dz=\pi i\left.\frac{d^4\sin z}{4!}\right|_{z=0}=0 $$

Gracias

Answer 1

Suponiendo que el contorno en cuestión es el círculo unitario, tenemos $|\sin(z)| \le e$ para $|z| = 1$ y $|z|^5 = 1$ . Por lo tanto,

$$\left|\oint_C \frac{\sin z}{z^5}\right| \le \text{length}(C) \sup_{|z|=1}|\sin z| = 2\pi e$$

Por supuesto, ya que $\sin(z)/z^5 = z^{-4} + \tfrac{1}{6}z^{-2} + h(z)$ donde $h$ es analítica en el disco unitario, la integral es cero. Por tanto, ¡no es un límite muy útil!

Edita: $\text{length}(C) = 2\pi$ es la longitud del círculo unitario. Para el límite, observe que $\sin(z) = \tfrac{1}{2}(e^{iz} - e^{-iz})$ Así que $|\sin(z)| \le \tfrac12(|e^{iz}| + |e^{-iz}|)$ . Pero también, $|e^{x+iy}| = e^x$ y si $z$ está en el círculo unitario, entonces las partes real e imaginaria de $z$ están entre -1 y 1. Por lo tanto $|e^{iz}| \le e$ y $|\sin(z)| \le e$ .