Demuéstralo con una prueba combinatoria (historia): $\displaystyle\sum_{k=0}^n k \binom n k ^2=n\binom{2n-1}{n-1}$
Mi intento:
Facilitemos el trabajo (es muy fácil mostrar esa identidad): $\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac kn \binom n k ^2=\binom{2n-1}{n-1}\Rightarrow \sum_{k=0}^n \binom {n-1}{k-1} \binom n k =\binom{2n-1}{n-1}$
RHS: queremos formar un grupo de tamaño $n-1$ de $2n-1$ personas.
LHS: El grupo ha $n$ hombres y $n-1$ mujeres. Elegiremos a los hombres y mujeres de tal manera que siempre habrá $1$ más a los hombres que a las mujeres:
Sin hombres - no hay manera de formar tal grupo.
$1$ persona - $n=\binom {n-1} 0 \binom {n} 1$ .
$3$ gente - $\binom{n-1} 1\binom n 2$
...
$n$ gente - $\binom{n-1} {n-1}\binom n n$
Y si sumamos todos los casos diferentes obtenemos: $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom {n-1}{k-1} \binom n k$
No estoy convencido con mi historia para el LHS, escogiendo los grupos de tal manera que siempre habrá $1$ hombres más parece demasiado arbitrario. Además estoy bastante seguro de que el primer y el último caso están mal. ¿Algún consejo para arreglarlo?
Nota: sin integrales ni uso de otras identidades sin demostrarlas ni funciones generatrices.
