Producto de subgrupo y subgrupo normal con índice primo

Question

Estoy tratando de mostrar que para un grupo $G$ con subgrupo normal $N$ con índice $[G:N]=p$ (donde p es algún primo), tenemos que $HN=G$ si $H$ es un subgrupo de $G$ que no figura en $N$ .

Así que..:

• $N \unlhd G$

• $[G:N]=p$ para algún primo $p$

• $H \leq G$

• $ H \nsubseteq N$

• Quiere demostrar que $HN=G$

Mi intento de solución es que, dado que el producto de un subgrupo y un subgrupo normal es de nuevo un subgrupo, sabemos que $ HN \leq G .$ Por lo tanto, si podemos demostrar que $ |HN|=|G|,$ entonces $HN$ debe ser igual a $G.$

Para ello, podríamos utilizar $|HN|=\frac{|H||N|}{H \cap N},$ pero no tuve éxito con esta estrategia.

Soy consciente de que $N \unlhd G$ nos da $[G:N]=|G/N|,$ que combinado con el teorema de Lagrange da $ |G/N|=\frac{|G|}{|N|}, $ que también puede ser útil.

Por supuesto, también se podría intentar demostrar que $ HN \geq G,$ pero tampoco lo conseguí.

Cualquier aportación será muy apreciada, ¡gracias de antemano! :)

Answer 1

Pista. Dado un grupo $G$ y subgrupos $H\leq K\leq G$ se cumple la siguiente igualdad: $$[G:H] = [G:K][K:H].$$ Toma, $[G:H]$ es el índice de $H$ en $G$ que es el número de cosets izquierdos (equivalentemente, derechos) distintos de $H$ en $G$ . Esta igualdad se mantiene en el sentido de cardinalidades (no sólo en el sentido de finito de $\infty$ ).

Se puede encontrar una prueba que se mantiene en el sentido de cardinalidades en esta respuesta anterior .