Esta $\partial_i$ es utilizado por Hamilton para denotar la de Levi-Civita de conexión con respecto a la métrica de $g$ o, con respecto a $\Gamma_{i}{}^{k}_{j}$
Aviso de que hay una errata en el documento original en la quinta línea en la página.52, donde se dice que "$\partial_i$ es covariante diferenciación con respecto a los $F_{i}{}^{k}_{j}$".
Me voy a cambiar la notación para hacer las cosas más claras. Yo uso $\nabla^{(g)}$ $\nabla^{(h)}$ para la de Levi-Civita de las conexiones de las métricas $g$ $h$ respectivamente.
En otras palabras, yo uso $\nabla^{(g)}_i$ en lugar de Hamilton $\partial_i$ para evitar una posible confusión con las derivadas parciales.
La diferencia de las conexiones de $F_{i}{}^{k}_{j}$ en el expresado por la identidad:
$$
\nabla^{(g)}_i \omega_j = \nabla^{(h)}_i \omega_j + F_{i} {a}^{k}_{j} \omega_k
$$
donde $\omega_i$ es arbitraria $1$-forma (covector).
Ahora podemos calcular el Laplaciano w.r.t. $g$ de la función de $E = g^{i j} h_{i j}$.
$$
\begin{align}
\Delta^{(g)} E & = g^{i j} \nabla^{(g)}_i \nabla^{(g)}_j (g^{k l} h_{k l}) \\
& = g^{i j} g^{k l} \nabla^{(g)}_i \nabla^{(g)}_j h_{k l} \\
& = g^{i j} g^{k l} \nabla^{(g)}_i \Big( \nabla^{(h)}_j h_{k l} + F_{j}{}^{p}_{k} h_{p l} + F_{j}{}^{p}_{l} h_{k p} \Big) \
\end{align}
$$
Ahora observamos que el $\nabla^{(h)}_j h_{k l} = 0$ y recuperar la identidad
$$
\nabla^{(g)}_j h_{k, l} = F_{j}{}^{p}_{k} h_{p l} + F_{j}{}^{p}_{l} h_{k p}
$$
De continuar con este proceso obtenemos
$$
\begin{align}
\Delta^{(g)} E & = g^{i j} g^{k l} \nabla^{(g)}_i \Big( F_{j}{}^{p}_{k} h_{p l} + F_{j}{}^{p}_{l} h_{k p} \Big) \\
& = g^{i j} g^{k l} \Big( h_{p l} \nabla^{(g)}_i F_{j}{}^{p}_{k} + F_{j}{}^{p}_{k} \nabla^{(g)}_i h_{p l} + h_{k p} \nabla^{(g)}_i F_{j}{}^{p}_{l} + F_{j}{}^{p}_{l} \nabla^{(g)}_i h_{k p} \Big) \\
& = 2 \, g^{i j} g^{k l} h_{p l} \nabla^{(g)}_i F_{j}{}^{p}_{k} + 2\, g^{i j} g^{k l} F_{j}{}^{p}_{k} \nabla^{(g)}_i h_{p l}
\end{align}
$$
que es equivalente a la ecuación en la pregunta.
Esto también confirma la identidad en @Avitus la respuesta:
$$
\begin{align}
\Delta^{(g)} E & = 2 \, g^{i j} g^{k l} \nabla^{(g)}_i \Big( h_{p l} F_{j}{}^{p}_{k} \Big)
\end{align}
$$
