También hay una buena prueba de este hecho (que vi por primera vez en Milnor-Stasheff's Clases características ) que consiste en descomponer la clase $\eta(\Delta) \in H^*(M \times M)$ obtenida como el dual de Poincare de la diagonal $\Delta \subset M \times M$ .
Asumiré $M$ es una zona compacta (no necesariamente orientada) $n$ -manifold y uso $\mathbb{Z}/2$ -coeficientes. Si $M$ está orientado se pueden utilizar coeficientes en cualquier campo. Además supondré $n$ es par. Simplifica el argumento y, por otro teorema de ese libro, la característica de Euler de una variedad compacta de dimensión impar es cero, así que no nos perderemos gran cosa.
Los teoremas 11.10 y 11.11 de la p. 128 muestran: para cada base $b_1, \dots, b_r$ para $H^*(M)$ existe una base dual $b_1^\vee, \dots, b_r^\vee$ se caracteriza por lo siguiente: si $\mu \in H_n(M)$ es la clase fundamental de $M$ entonces $$ \begin{equation} \label{eq:1} \tag{1} \langle b_i \smile b_j^\vee , \mu \rangle = \begin{cases} 1, & \text{ if } i = j \\ 0, & \text{ otherwise }\\ \end{cases} \end{equation} $$ Tenga en cuenta que $\deg b_i^\vee = n - \deg b_i$ En cuanto a la $b_i, b_i^\vee$ tenemos $$ \begin{equation} \label{eq:2}\tag{2} \eta(\Delta) = \sum_{i=1}^r (-1)^{\deg b_i}b_i \times b_i^\vee \in H^n(M \times M) \end{equation} $$ Así es como utilizamos el hecho de que la diagonal es la diagonal: Si $\tau: M \times M \to M \times M$ envía $(x, y) \mapsto (y, x)$ y $\tau^* : H^*(M \times M) \to H^*(M \times M)$ es el mapa inducido sobre la cohomología, se puede demostrar $\tau^* \eta(\Delta) = \eta(\Delta)$ . Sustituyendo la fórmula anterior, tenemos $$ \eta(\Delta) = \tau^*\eta(\Delta) = \tau^*(\sum_{i=1}^r (-1)^{\deg b_i}b_i \times b_i^\vee) = \sum_{i=1}^r (-1)^{\deg b_i} (-1)^{\deg b_i \cdot \deg b_i^\vee} b_i^\vee \times b_i $$ $$ \begin{equation} \label{eq:3} \tag{3} = \sum_{i=1}^r (-1)^{\deg b_i (n - \deg b_i + 1)} b_i^\vee \times b_i = \sum_{i=1}^r b_i^\vee \times b_i \end{equation} $$ donde he usado ese $(-1)^{\deg b_i (n - \deg b_i + 1)} = 1$ desde $n$ es par y $\deg b_i \cdot (1 - \deg b_i)$ es siempre par.
Ahora cuando auto-intersecamos la diagonal, sustituimos la fórmula \eqref {eq:2} para una copia de $\eta(\Delta)$ y fórmula \eqref {eq:3} para el otro: $$ \begin{equation} \label{eq:4} \tag{4} \eta(\Delta) \smile \eta(\Delta) = (\sum_{i=1}^r (-1)^{\deg b_i}b_i \times b_i^\vee) \smile (\sum_{i=1}^r b_i^\vee \times b_i ) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \label{eq:5} \tag{5} = \sum_{i, j} (-1)^{\deg b_i} b_i \times b_i^\vee \smile b_j^\vee \times b_j \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \label{eq:6} \tag{6} = \sum_{i, j} (-1)^{\deg b_i} (-1)^{\deg b_i^\vee \deg b_j^\vee} b_i \smile b_j^\vee \times b_i^\vee \smile b_j \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \label{eq:7} \tag{7} = \sum_{i, j} (-1)^{\deg b_i} (-1)^{\deg b_i^\vee \deg b_j^\vee} (-1)^{\deg b_i^\vee \deg b_j} b_i \smile b_j^\vee \times b_j \smile b_i^\vee \end{equation} $$ La simplificación de los factores de $(-1)$ el factor de $(-1)$ en el $i, j$ término de la suma es $$ (-1)^{s} \text{ where } s = \deg b_i + \deg b_i^\vee \cdot (\deg b_j + \deg b_j^\vee) = \deg b_i + \deg b_i^\vee \cdot n $$
Desde $n$ es par, $(-1)^s = (-1)^{\deg b_i}$ y hemos demostrado
$$ \eta(\Delta) \smile \eta(\Delta) = \sum_{i, j} (-1)^{\deg b_i} (b_i \smile b_j^\vee) \times (b_j \smile b_i^\vee) $$ Por último, el emparejamiento con la clase fundamental $\mu \times \mu$ de $M \times M$ y recordando la ecuación \eqref {eq:1}, vemos que $$ \langle \eta(\Delta) \smile \eta(\Delta), \mu \times \mu \rangle = \sum_{i, j} (-1)^{\deg b_i} \langle b_i \smile b_j^\vee , \mu \rangle \cdot \langle b_j \smile b_i^\vee , \mu \rangle $$ $$ \label{eq:8} \tag{8} = \sum_i (-1)^{\deg b_i} = \sum_i (-1)^i \dim H^i(M) $$
