Pregunta sobre la construcción de René Schilling del movimiento browniano utilizando ONS completos: Tomando un $L^2$ límite fuera del exponencial

Question

Esto es parte de la prueba del Lemma 3.1 del movimiento browniano de René Schilling.(La prueba completa se adjunta al final de mi pregunta).

Consideremos el espacio de Hilbert $L^2(dt)=L^2([0,1],dt)$ con producto escalar $\langle f,g \rangle_{L^2} = \int_0^1 f(t)g(t)dt$ y supongamos que $(\phi_n)_{n \ge 0}$ es cualquier ONS completo y $(G_n)_{n \ge 0}$ sea una secuencia de gaussianas iid de valor real $N(0,1)$ variables aleatorias en el espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{A},P)$ . Establecer $$W_N(t) := \sum_{n=0}^{N-1} G_n \langle 1_{[0,t)}, \phi_n \rangle_{L^2} = \sum_{n=0}^{N-1} G_n \int_0^t \phi_n(s) ds.$$

Entonces el límite $W(t):= \lim_{N \to \infty} W_N(t)$ existe para cada $t \in [0,1]$ en $L^2(P)$ y el proceso $W(t)$ satisface las propiedades del movimiento browniano.

Prueba.

La prueba muestra primero que utilizando la independencia de $G_n$ y la identidad de Parseval obtenemos para cada $t \in [0,1]$ $E[W_N(t)]^2 = t$ y $W(t) = L^2-\lim_N W_N(t)$ existe.

Un cálculo análogo da como resultado para $s<t$ y $u<v$

$$E(W(t)-W(s))(W(v)-W(u)) = \sum_{n=0}^\infty \langle 1_{[0,t)} - 1_{[0,s)}, \phi_n \rangle_{L^2} \langle 1_{[0,v)} - 1_{[0,u)}, \phi_n \rangle_{L^2} = \langle 1_{[s,t)} , 1_{[u,v)}\rangle_{L^2},$$ y vemos que $E(W(t)-W(s))(W(v)-W(u)) = (v \wedge t - u \vee s)^+$ Así que $0$ si $[s,t) \cap [u,v) = \emptyset$ .

Pregunta.

Tengo una pregunta sobre la siguiente línea de la prueba. Se dice en el texto que:

Con este cálculo encontramos para todos $0 \le s < t \le u < v$ y $\xi , \eta \in \mathbb{R}$

$$E[\exp(i \xi ( W(t)-W(s)) + i \eta (W(v)-W(u)))] = \lim_N E[\exp(i \sum_{n=0}^{N-1} (\xi \langle 1_{[s,t)}, \phi_n \rangle + \eta 1_{[u,v)}, \phi_n \rangle ) G_n)].$$

No consigo entender cómo se utiliza el cálculo anterior para obtener esta identidad. ¿Qué es exactamente lo que nos permite tomar el límite fuera del exponente y la expectativa cuando tenemos un $L^2$ ¿Límite?

Un argumento que se me ocurrió es que podemos considerar $g$ como la función continua acotada $g(x) = \exp(i ( \xi f(x) + \eta h(x)))$ donde $f_n \to f$ en $L^2$ y $h_n \to h$ en $L^2$ ( Toma $f_n = W_n(t) - W_n(s)$ y $h_n = W_n(v)-W_n(u)$ . ) Entonces, por el teorema de convergencia dominada generalizada de Vitali, obtendríamos $\lim_n \exp(i(\xi f_n(x)+\eta h_n(x)))=g(x)$ lo que da la identidad anterior.

Sin embargo, este argumento no utiliza el cálculo $E(W(t)-W(s))(W(v)-W(u)) = (v \wedge t - u \vee s)^+$ . Así que no creo que esto sea lo que pretendía el autor.

Agradecería enormemente una justificación de este argumento limitador.

Adjunto a continuación la prueba completa.

Answer 1

Así es como yo lo entiendo, aunque no estoy exactamente seguro de lo que el autor pretendía en realidad. En primer lugar, por cada $t \in [0,1]$ la secuencia $(W_N(t))$ converge a $W(t)$ en $L^2(\mathbb{P})$ . Por lo tanto, para $0 \leq s < t \leq u < v$ la secuencia $(W_N(t)-W_N(s),W_N(v)-W_N(u))$ converge a $(W_N(t)-W_N(s),W_N(v)-W_N(u))$ en $L^2(\mathbb{P})$ lo que significa que las funciones características convergen: para cualquier $\xi, \eta \in \mathbb{R}$ , $$\mathbb{E} \left [ e^{i \xi (W_N(t) - W_N(s)) + i \eta (W_N(v) - W_N(u))} \right ] \to \mathbb{E} \left [ e^{i \xi (W(t) - W(s)) + i \eta (W(v) - W(u))}\right ].$$ El resto del cálculo muestra que el lado izquierdo es $$\exp \left [ - \frac12 \sum_{n=0}^{N-1} \left ( \xi^2 \langle 1_{[s,t)}, \phi_n \rangle^2 + \eta^2 \langle 1_{[u,v)}, \phi_n \rangle^2 \right ) \right ].$$ Pero $$\sum_{n=0}^{N-1} \langle 1_{[s,t)}, \phi_n \rangle^2 \to \langle 1_{[s,t)}, 1_{[s,t)} \rangle = t - s$$ en $L^2([0,1])$ desde $(\phi_n)$ es un ONS completo. Del mismo modo para la otra parte, y como $L^2$ la convergencia es preservada por funciones continuas acotadas, esto da como resultado que $$\exp \left [ - \frac12 \sum_{n=0}^{N-1} \left ( \xi^2 \langle 1_{[s,t)}, \phi_n \rangle^2 + \eta^2 \langle 1_{[u,v)}, \phi_n \rangle^2 \right ) \right ] \to \exp \left [ - \frac12 \xi^2 (t-s) + \eta^2 (v-u) \right ],$$ y así finalmente $$\mathbb{E} \left [ e^{i \xi (W(t) - W(s)) + i \eta (W(v) - W(u))}\right ] = e^{- \frac12 \xi^2 (t-s) + \eta^2 (v-u)}.$$ Pero, de hecho, esto no utiliza el cálculo del segundo momento, que definitivamente no es suficiente para calcular funciones características.