Consideremos la siguiente desigualdad:
$$ 2\left(E_{k+1}^2+E_{k-1}^2\right)+5 E_k^2<1$$
donde
$$E_k=\frac{F_k}{2^k}$$
y $F_k$ Número de Fibonacci.
Necesito algunas sugerencias. Gracias.
Consideremos la siguiente desigualdad:
$$ 2\left(E_{k+1}^2+E_{k-1}^2\right)+5 E_k^2<1$$
donde
$$E_k=\frac{F_k}{2^k}$$
y $F_k$ Número de Fibonacci.
Necesito algunas sugerencias. Gracias.
El OP presumiblemente se refiere a los números de Fibonacci indexados con $F_1=F_2=1$ de modo que $E_1={1\over2}$ , $E_2=E_3={1\over4}$ , $E_4={2\over16}$ etc.
Teniendo esto en cuenta, observe en primer lugar que
$$E_k={F_k\over2^k}={F_{k-1}+F_{k-2}\over2^k}\le{2F_{k-1}\over2^k}={F_{k-1}\over2^{k-1}}=E_{k-1}$$
En consecuencia $E_k\lt{1\over3}$ para $k\gt1$ por lo que si $k\gt2$ tenemos
$$2(E_{k+1}^2+E_{k-1}^2)+5E_k^2\le9E_{k-1}^2\lt9\left({1\over3}\right)^2=1$$
Por último, para arreglar las cosas, si $k=2$ tenemos
$$2(E_3^2+E_1^2)+5E_2^2=2({1\over16}+{1\over4})+5\cdot{1\over16}={15\over16}\lt1$$
Tenga en cuenta, no obstante, que
$$2(E_2^2+E_0^2)+5E_1^2=2({1\over16}+0)+5\cdot{1\over4}={11\over8}\gt1$$
por lo que el OP o bien no tenía la intención de la desigualdad para comenzar en $k=1$ o bien pretende indexar los números de Fibonacci con $F_1=0$ , $F_2=1$ .
He aquí lo esencial de la prueba por inducción.
Caso base.
...
Paso inductivo. Supongamos que para algunos j> algo :), $$ 2\left(E_{j+1}^2+E_{j-1}^2\right)+5 E_j^2<1$$
Así que $$E_{j+2} = \frac{F_{j+2}}{2^{j+2}}=\frac{F_{j+1} + F_j}{2^{j+2}} = \frac{E_{j+1}}{2} + \frac{E_{j}}{4} = \frac{F_{j} + F_{j-1}}{2^{j+2}} + \frac{E_j}{4} = E_j/2 $$
...
Y aquí es donde se muestra $$ 2\left(E_{j+2}^2+E_{j}^2\right)+5 E_{j+1}^2<1$$
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