Algunas cuestiones sobre determinantes y geometría

Question

Para matrices de valor real, sé que el valor absoluto del determinante es equivalente al volumen de los vectores que forman el paralelepípedo de la matriz.

Supongamos que $A$ y $B$ tienen un valor real, $n \times n$ matrices con $det (A) = a$ y $det(B) = b$ .
Así que mis preguntas se inspiran en Lambda de Wilks :

1. ¿Qué ocurre en el sentido geométrico al sumar $A+B$ ? Suma vectorial, claro, pero ¿existe una forma más sencilla (alternativa) de explicar la idea de lo que ocurre con los paralelepípedos definidos por dos matrices $A$ y $B$ ? Supongo que quiero una declaración que diga, algo parecido a $$\\\\ \text{Given the parallelepiped defined by $ A $ and parallelepiped defined by $ B $,$ \ \$ then the parallelepiped defined by $ A+B $ is ...}$$
2. Dado $det (A) = a$ y $det(B) = b$ ¿hay alguna forma de describir $det(A+B)$ en términos de $a$ y $b$ ?

para $n=2$ conocemos el $$\begin{array}{rcl} a&=& a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\\ b&=& b_{11} \cdot b_{22} - b_{12} \cdot b_{21}\\ det(A+B)&=& (a_{11} + b_{11}) \cdot (a_{22}+b_{22}) - (a_{12} + b_{12}) \cdot (a_{21} + b_{21})\\ &=& a_{11}\cdot a_{22}+b_{11}\cdot b_{22} + a_{11} \cdot b_{22}+b_{11}\cdot a_{22} - \left( a_{12}\cdot a_{21}+b_{12}\cdot b_{21} + a_{12} \cdot b_{21}+b_{12}\cdot a_{21}\right) \\ &=&\left( a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}\right) + \left( b_{11} \cdot b_{22} - b_{12} \cdot b_{21}\right) + \left( a_{11} \cdot b_{22}+b_{11}\cdot a_{22} - a_{12} \cdot b_{21}+b_{12}\cdot a_{21}\right)\\ &=& a+b+\left( a_{11} \cdot b_{22}+b_{11}\cdot a_{22} - a_{12} \cdot b_{21}+b_{12}\cdot a_{21}\right) \end{array}$$ Las cuentas se ponen feas para $n=3$ y superiores.

Gracias.

Answer 1

Quiero decir que no es una pregunta natural. Las matrices no codifican paralelepípedos; codifican paralelepípedos junto con

• una elección de vértice $v$ y
• una ordenación de las aristas adyacentes a $v$

y ambas opciones se utilizan mucho en la definición de suma de matrices, por lo que no hay razón para esperar que el resultado sea geométricamente natural a nivel de paralelepípedos.

Una forma más concreta de decirlo es que $\det (A + B)$ no es invariable al permutar las filas de $A$ o $B$ por separado.

Una forma "mejor" de pensar en el determinante geométricamente es que describe, no un volumen, sino un(n orientado) factor de escala para volúmenes (orientados): las matrices envían paralelepípedos a paralelepípedos y sus determinantes describen cómo escalan los volúmenes (orientados). Desde esta perspectiva queda más claro que lo geométricamente natural (si se quiere hablar de volumen) es multiplicar matrices, no sumarlas.