$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple la siguiente propiedad $|f(x) - f(y)| \geq |x-y| $ para todos $x,y \in \mathbb{R}$

Question

Sea $f$ sea una función continua, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple la siguiente propiedad $|f(x) - f(y)| \geq |x-y| $ para todos $x,y \in \mathbb{R}$ . ¿Podemos concluir que la función $f$ es monótona en $\mathbb{R}$ ?

Intento :

$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \geq 1 \Rightarrow |f'(x)| \geq 1 for x \neq y$ No puedo continuar más allá de esto.

Answer 1

Supongamos que no es monótona. Entonces existe un triple $x_1 < x_2 < x_3$ tal que, por ejemplo, $f(x_1) < f(x_2) > f(x_3)$ . Supongamos que en este caso tenemos $f(x_1) \ge f(x_3)$ . Entonces, por continuidad de $f$ tenemos $y \in [x_2,x_3]$ tal que $f(y) = f(x_1)$ . Entonces

$$0 = |f(x_1) - f(y)| \ge |x_1-y| \ge |x_1-x_2| > 0$$

Contradicción.