Para $0<q_n<1, \lim\limits_{n\to\infty} q_n =q < 1$ demuestre $\lim\limits_{n\to\infty} n^kq_n^n = 0$ para todos $k \in \Bbb N$ sin L'Hôpital

Question

Tengo problemas para calcular el siguiente límite:

Dada una secuencia $0<q_n<1$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} q_n =q < 1$ demuestre que para un $k \in \mathbb N$ , $\lim\limits_{n\to\infty} n^k q_n^n= 0$ .

Sé cómo demostrarlo, pero no puedo hacerlo sin utilizar la Regla de L'Hôpital. ¿Alguien tiene una demostración elemental?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{(n+1)^k}{n^k}=1+kn^{-1}+{k\choose2}n^{-2}+\ldots+n^{-k}\to1$$ como $n\to\infty$ por lo que para cualquier $s$ con $1<s<\frac1q$ (posible porque $q<1$ ) podemos encontrar $a$ con $n^k<a\cdot s^n$ . Seleccione $r$ con $q<r<\frac1s$ (posible porque $s<\frac1q$ ). Entonces Para casi todos $n$ tenemos $q_n<r$ Por lo tanto $$n^kq_n^n<n^kr^n<a(rs)^n.$$ Desde $0<rs<1$ la afirmación es la siguiente.

Answer 2

Desde $$\lim_{n\to\infty}q_n=q<1,$$ por lo tanto existen $k_0$ y $q<q'<1$ que $$q_n<q', k\geq k_0.$$ Por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}n^kq_n^n\leq\lim_{n\to\infty}n^k(q')^n=0,$$ tras la prueba de la raíz: $$(n^k(q')^n)^{\frac{1}{n}}=(n^{\frac{1}{n}})^k q'\to q' <1.$$ Además $$\sum_{n=1}^{\infty}n^kq_n^n<\infty.$$

Answer 3

Tome la serie positiva

$$\sum_{n=1}^\infty n^kq^n$$

se aplican ahora, digamos la de Cauchy $\,n$ -prueba de la raíz enésima:

$$\sqrt[n]{n^kq_n^n}=\left(\sqrt[n]n\right)^kq_n\xrightarrow[n\to\infty]{}1^k\cdot q=q<1$$

por lo que la serie converge y a partir de aquí la secuencia del término general converge a cero.