Es $x^5+10x^3+10x+3$ irreducible sobre $\mathbb{Q}(i)[X]$ ? Estoy teniendo problemas para ver un enfoque para esto, agradecería algunas pistas, gracias.
Respuesta
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Sea $f:=X^5+10X^3+10X+3$ . Primero, probaremos $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .
Tenga en cuenta que $f\equiv X^5-1\equiv (X-1)\Phi_5(X)\pmod 2$ . Demostramos que $\Phi_5(X)$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ . Supongamos que $\mathbb{F}_2\subseteq \mathbb{F}_2[\zeta_5]$ tiene grado $d$ entonces $\zeta_5^{2^d-1}=1$ Así que $5\mid 2^d-1$ y $d=4$ . Esto significa que $f\mod 2$ es el producto de un factor lineal y un polinomio irreducible de grado $4$ .
Siguiente, $f$ no tiene raíces en $\mathbb{Q}$ por el teorema de la raíz racional, entonces $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ . Sea $\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ sea una raíz de $f$ entonces $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$ es un grado $5$ extensión de campo.
Porque $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ es un grado $2$ ampliación del campo y $\gcd(2,5)=1$ se deduce que $\mathbb{Q}(i,\alpha)/\mathbb{Q}$ tiene grado $10$ Así que $\mathbb{Q}(i,\alpha)/\mathbb{Q}(i)$ tiene grado $5$ lo que significa que el polinomio mínimo de $\alpha$ tiene grado $5$ por lo que debe ser $f$ y $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(i)$ .
