Consecutivos El Primer Hueco Suma (Amateur)

Question

Lista de los primeros cincuenta primer lagunas:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4.

Mi conjetura es que la suma de consecutivos el primer problema es el de siempre prime siempre un primer espacio de 2, se añade.

$$ 1 + 2 = 3 $$ $$ 1 + 2 + 2 = 5 $$ $$ 1 + 2 + 2 + 4 + 2 = 11 $$ $$ 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 17 $$ $$ 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 6 + 2 = 29 $$

No sé si esto tiene sentido o cómo ir sobre la realización de pruebas completamente (lo he probado hasta 461), así que voy a dejar esto aquí y a ver qué sale de esto.

Answer 1

Set $g_n=p_{n+1}-p_n$ donde $p_n$ es la serie de números primos, con $p_1=2$.
Entonces $$ p_1+\sum_{i=1}^n g_i=\sum_{i=1}^n g_i+2=p_{n+1}. $$ Así que la conjetura es obviamente cierto, pero no es útil.

Answer 2

Deje $p_n$ el valor del $n^{\text{th}}$ prime. A continuación, $p_{n+1}-p_n$ $n^{\text{th}}$ primer hueco. La suma de los primeros a $k$ el primer problema es el de la $$\sum_{n=1}^k(p_{n+1}-p_n) = p_{k+1} - p_1 = p_{k+1} - 2.$$ Now, if the $k^{\text{th}}$ prime gap is $2$, that is $p_{k+1} - p_k = 2$, then $p_{k+1} - 2 = (p_k + 2) - 2 = p_k$, que es el primer como te has dado cuenta.

Un par de números primos consecutivos $p_n$, $p_{n+1}$ que se diferencian por dos (es decir, el $n^{\text{th}}$ primer brecha es de dos) se dice que dos números primos. Todavía se desconoce si hay infinitamente mapa de los números primos gemelos.

Answer 3

El primer espacio es de 3 - 2 = 1. La suma de las diferencias hasta el primer espacio es 1, que es de 2 a menos de 3.

La segunda brecha es de 5 - 3 = 2. La suma de las diferencias hasta la segunda brecha es de 3, que es de 2 a menos de 5.

La tercera brecha es de 7 - 5 = 2. La suma de las diferencias hasta la tercera brecha es de 5, que es de 2 a menos de 7.

La cuarta brecha es de 11 - 7 = 4. La suma de las diferencias hasta la cuarta brecha es de 9, que es de 2 a menos de 11.

Usted debe ser capaz de ver un patrón de ahora: La suma de los n primeros problema es el de siempre, dos menos que el n-prime. Y eso es debido a la forma en que las brechas se calculan: Los (n+1)st brecha es la diferencia entre el n+1 y n prime; sumado esto a la suma hasta el momento que es dos menos que el enésimo primer dará un resultado que es dos menos que el n-ésimo primo.

Y por supuesto, cada vez la brecha es de dos, dos menos que el enésimo primer pasa a ser el n-1 de prime, que explica todo muy bien.