Pregunta sobre el pseudoproducto interior

Question

Me gustaría saber más sobre la geometría de $\mathbb{R}^2$ equipado con el siguiente producto interno $(\mathbf{v},\mathbf{u})=\|\mathbf v\|\cdot \|\mathbf u\|\cos(2\alpha)$ donde $\alpha$ es el ángulo entre los vectores $\mathbf v$ y $\mathbf u$ . No se trata de un verdadero producto interior, ya que $(a\mathbf v,\mathbf u)=|a|(\mathbf v,\mathbf u)$ . En cierto modo, se trata de un producto interior sobre el espacio de direcciones en $\mathbb{R}^2$ . ¿Se ha estudiado esto y por dónde podría empezar a buscar bibliografía? Me interesa especialmente la posibilidad de representar el espacio en términos de espinores.

Answer 1

Supongamos que esto define realmente un producto interior $\langle\ ,\ \rangle$ .

Considere $u=(1,0)$ y $v=(0,1)$ . Entonces el ángulo entre $w=u+v$ y $u$ y el ángulo entre $w$ y $v$ son ambos $\alpha=\pi/4$ y $\cos(2\alpha)=0$ de ahí $\langle u,w\rangle=\langle v,w\rangle=0$ lo que implica que $\langle w,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle=0$ .

Esto es una contradicción porque $\|w\|\ne0$ y el ángulo que $w$ hace con $w$ es $\beta=0$ y $\cos(2\beta)\ne0$ Por lo tanto $\langle w,w\rangle=\|w\|\cdot\|w\|\cdot\cos(2\beta)=\|w\|^2\ne0$ .