Polinomios que comparten al menos una raíz

Question

Sea $P(x) = x^2 + Bx + C$ para $B,C \in \mathbb{R}$ tienen raíces reales. Representar el conjunto de todos los demás $p(x)= x^2 + bx + c$ que comparten una raíz con $P(x)$ mediante una trama en el $bc$ -avión. Forma una bonita imagen: por ejemplo, aquí está para $B=3, C=-1$ cuando las raíces son $-\frac{1}{2} \left(3 \pm \sqrt{13}\right)$ :

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          Las líneas se cruzan en $b=3,c=-1$ .

Todos esos $(b,c)$ en las dos líneas comparten una raíz con $x^2 + 3x -1$ . Las líneas son tangentes al paraboloide $b^2 = 4c$ donde el discriminante es cero. Dos preguntas:

Q1 . ¿Puede explicar las características de este cuadro geométricamente, sin recurrir a cálculos algebraicos explícitos?

Por "las características" quiero decir: Dos líneas rectas que se encuentran en el $B,C$ punto, tangente a la parábola discriminante.

Q2 . ¿Cuál es la imagen análoga para $P(x) = x^3 + B x^2 + C x + D$ el conjunto de polinomios cúbicos que comparten al menos una raíz con $P(x)$ trazado en $bcd$ -¿Espacio?

Agradecería más generalizaciones: A coeficientes y raíces en $\mathbb{C}$ y/o a polinomios de grado superior.

Answer 1

Arreglar una raíz $\alpha$ de $P(X)$ . Entonces todo polinomio de esa forma con raíz $\alpha$ debe ser de la forma $(x-\alpha)(x-\beta)$ y $b=-\alpha-\beta, c=\alpha\beta$ . De esta fórmula se obtiene que la dependencia entre $c$ y $b$ es lineal. Más concretamente $c=-\alpha b-\alpha^2$ . De esta forma se obtiene una línea a través de $(B,C)$ y si eliges la otra raíz obtienes la otra línea.

Ahora, sobre la parábola, está claro que estas rectas deben intersecarla en el punto $(-2\alpha_1,\alpha_1^2 )$ y $(-2\alpha_2,\alpha_2^2)$ y ciertamente no pueden ir en el $b^2<4c$ porque un punto de esta zona corresponde a un polinomio sin raíz real. De ello se deduce que las rectas deben ser tangentes a la parábola.