Se nos da la ecuación de Riccati:
$$\tag 1 \dfrac{dy}{dx} =A(x)y^2 + B(x)y + C(x) = A y^2 + B y + C$$
No quiero cargar con el hecho de que $A, B, C$ son funciones de $x$ .
Se nos pide que demostremos que si $f$ es cualquier solución de la ecuación $(1)$ entonces la transformación:
$$\tag 2 y = f + \dfrac{1}{v}$$
la reduce a una ecuación lineal en $v$ .
En primer lugar, nótese que nos dicen que $f$ es una solución particular de $(1)$ así que sustitúyalo por $f$ en $(1)$ cediendo:
$$\tag 3 f' = A f^2 + B f + C$$
Pero se nos da la transformación $(2)$ así que vamos a usarlo, tenemos $ y = f + \dfrac{1}{v}$ Así que
- $\tag 4 y' = f' -\dfrac{1}{v^2}v' = (A f^2 + B f + C) -\dfrac{1}{v^2}v'$
Pero de $(1)$ tenemos:
- $\tag 5 y' = A y^2 + B y + C = A\left(f + \dfrac{1}{v}\right)^2 + B\left(f + \dfrac{1}{v}\right) + C$
Equiparación $(4)$ y $(5)$ y cobrar/cancelar como términos, nos deja con:
$\tag 6 -\dfrac{1}{v^2}v' = A\dfrac{1}{v^2} + 2 f A\dfrac{1}{v}+ B \dfrac{1}{v}$
Simplificar $(6)$ rinde:
$$v' +(B + 2 fA)v = -A$$
Como puede ver, esto se ha reducido a una ecuación lineal en $v$ según se desee.
