Supongamos que tenemos una categoría monoidal equipada con datos adicionales que casi la convierten en una categoría monoidal trenzada excepto que sólo una de las identidades hexagonales se cumple. ¿Podemos demostrar entonces la otra identidad hexagonal? Si no es así, ¿hay algún contraejemplo explícito y podemos demostrar la otra identidad bajo la condición adicional adicional de que el trenzado sea simétrico?
Respuestas
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Considere la categoría de $A-$ espacios vectoriales graduados (aquí $A$ es un grupo abeliano) con producto tensorial obvio y asociador trivial. Entonces cada isomorfismo $a\otimes b\to b\otimes a$ puede especificarse como un número complejo distinto de cero $B(a,b)$ . Ahora el primer axioma del hexágono dice que la función $B(a,b)$ es lineal en la primera variable y el segundo axioma dice que $B(a,b)$ es lineal en la segunda variable. Es evidente que estas condiciones son independientes. El trenzado simétrico correspondería a la función simétrica sesgada $B(a,b)$ y la linealidad en una variable implicaría bilinealidad.
Jon Galloway
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Recordemos primero que la categoría monoidal libre trenzada en un generador es la categoría de trenzas. Recordemos también que a cada trenza se le puede asociar un "número de cruce": cada sobrecruzamiento cuenta como +1, y cada subcruzamiento como -1. Dada una trenza $B$ déjame escribir $\chi(B)$ para este número de cruce, ya que deletreo es $\chi$ rossing. De todos modos, hay otra categoría trenzado donde multiplico cada trenza $B$ por $q^{\chi(B)}$ para $q \neq 0$ alguna "variable". Lo que quiero decir con esto es que estoy tomando la misma categoría monoidal, pero un trenzado diferente, donde el cruce básico es reescalado por $q$ . Entonces el cruce de $n$ hebras sobre $m$ se reescala por $q^{nm}$ . Supongo que implícitamente estoy tomando mi categoría sobre $k[q,q^{-1}]$ para $k$ un campo. Un paso subterráneo $n$ en $m$ se reescala por $q^{-nm}$ .
Esto es lo que me gustaría hacer. Me gustaría construir una "categoría pretrenzada", que es la misma categoría monoidal, pero donde el trenzado de $n$ hebras sobre $m$ se reescala por $q^n$ (excepto cuando $m=0$ en cuyo caso no se reescala). Creo que esto satisface uno de los hexágonos pero no el otro.
Xavier Nodet
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En presencia de un trenzado simétrico en una categoría monoidal, una de las identidades del hexágono implica a la otra (no importa de cuál partas). No puedo ofrecer otra referencia que la Página de nLab sobre categorías monoidales simétricas . Pero me imagino que este resultado se remonta a los primeros trabajos sobre la coherencia (Kelly o MacLane, tal vez). En cuanto a las dos identidades hexagonales, supongo que se necesitan ambas. Éstas tienen interpretaciones como diagramas de cuerdas (véase Báez-Stay definición 11/página 21 para imágenes) y creo que es muy improbable que puedas recuperar una a partir de la otra sin estructura/operaciones extra en tu categoría monoidal 'pretrenzada'. Merecería la pena consultar el informe original de Joyal-Street. Categorías monoidales trenzadas para ver si dan un contraejemplo.
