¿Es $\{\emptyset\}$ un subconjunto de $\{\{\emptyset\}\}$?

Question

$\{\emptyset\}$ es un conjunto que contiene el conjunto vacío. ¿Es $\{\emptyset\}$ un subconjunto de $\{\{\emptyset\}\}$?

Mi hipótesis es que sí al observar la forma de "el superconjunto $\{\{\emptyset\}\}$" que contiene "el subconjunto $\{\emptyset\}$".

Answer 1

Es más fácil simplemente reemplazar todo por variables, luego es más claro.

Establezca $a=\varnothing, b=\{\varnothing\}=\{a\}$ y $c=\{\{\varnothing\}\}=\{\{a\}\}=\{b\}$.

Ahora la pregunta es si $\{a\}\subseteq\{b\}$. Pero como $a\neq b$, es fácil ver que la respuesta es negativa.

Answer 2

No, $\emptyset \in \{\emptyset\}$ pero $\emptyset \notin \{\{\emptyset\}\}.

Answer 3

Para preguntas tan abstractas, es importante que te mantengas en las definiciones de las nociones involucradas.

Por definición, $A$ es un subconjunto de $B$ si cada elemento contenido en $A$ también está contenido en $B$.

Ahora observamos $A = \{\emptyset\}$ y $B = \{\{\emptyset\}\}$. $A$ tiene exactamente un elemento, que es $\emptyset$. Este no es un elemento de $B$, ya que el único elemento de $B$ es $\{\emptyset\}$ y $\emptyset \neq \{\emptyset\}$ (ver abajo). Entonces $A$ no es un subconjunto de $B.

¿Por qué $\emptyset \neq \{\emptyset\}$? Por definición, dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Sin embargo, $\emptyset$ es el conjunto vacío sin ningún elemento, pero $\{\emptyset\}$ es un conjunto de $1$ elemento con el elemento $\emptyset$.

Answer 4

{{∅}} tiene solo un elemento, a saber, {∅}, lo que implica que solo hay dos subconjuntos triviales, {{∅}} que contiene todos los elementos y ∅ que no contiene ninguno.

formalmente todos los subconjuntos de {{∅}}

{{∅}}⊆{{∅}}
∅⊆{{∅}}

Answer 5

Piensa en {∅} como una caja que contiene una caja vacía, entonces {{∅}} es una caja que contiene una caja que contiene una caja vacía, en cuyo caso {{∅}} es una caja que contiene {∅}, lo que significa

{∅} es un subconjunto de {{∅}}