Consecuencias formales de Riemann-Roch (se admiten varias respuestas)

Question

Esta pregunta pretende precisar lo que Riemann-Roch puede decirnos sobre un divisor en una curva, sin ningún "pensamiento geométrico". Puede ser molesto preguntarse si hay algún truco ingenioso que te estás perdiendo en un problema, y estaría bien conocer los límites del formalismo de Riemann-Roch del mismo modo que sabemos que no podemos resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales en 3 variables.

Si alguien prefiere una formalización diferente de esta pregunta, estaré encantado de recibir una respuesta a esa en su lugar. Aquí está la mía:

Situación:

S1) Div es un grupo abeliano libre generado por un conjunto infinito de letras P . [ como puntos ]
S2) D ∈ Div es "eficaz" si todos sus coeficientes son no negativos.
S3) deg: Div -> Z es el mapa de suma de coeficientes.
S4) Prin es un subgrupo distinguido de ker(deg). [ como divisores principales ]
S5) l: Div/Prin -> N es una función a los enteros no negativos. [ como la dimensión de las secciones globales ]
S6) K is an element of Div . [ como un divisor canónico ]

Relaciones ( g:=l(K) ):

R1) l(D)-l(K-D) = deg(D) + 1 - g . [ Riemann Roch ]
R2) l(D+P) = l(D) ou l(D)+1 para cualquier generador P.
R3) l(D)>0 si D es equivalente mod Prin a un divisor efectivo.
R4) Si l(D)>0 y deg(D)=0 entonces D ∈ Prin .

Pregunta A (espero que manejable): ¿Qué exactamente puede inferirse aquí sobre una de l(D) ou deg(D) ¿dado el otro?

Tal vez alguien sepa ya la respuesta, por experiencia en la resolución de problemas relacionados con las RR.

Asombrosamente, muchos otros conceptos pueden reformularse en este contexto, y podemos pedir más...

Definiciones opcionales:

O1) D es "libre" si l(D-P) = l(D)-1 para cualquier generador P .
O2) D es "muy amplia" si l(D-P-Q) = l(D)-2 para cualquier generador P,Q (no necesariamente distintos)
O3) D es "amplio" si nD es muy amplio para algunos n>0 .
O4) D es "grande" si para algunos c>0 y todos los grandes n , l(nD) cm^n

Pregunta B (se admiten respuestas parciales): ¿Qué exactamente puede deducirse aquí sobre l(D) , deg(D) la eficacia, la libertad, la (gran) amplitud y el tamaño de la D información sobre los demás?

Algunos ejemplos (véase el capítulo IV de Hartshorne):

• l(0)=1
• deg(K) = 2g-2
• Si D es muy amplio entonces deg(D)>0
• Si deg(D) 2g entonces D es gratis
• Si deg(D) 2g+1 entonces D es muy amplio
• D es amplia si deg(D)>0

Así que, ¡sí! ¿Qué pasa con Riemann-Roch?

Answer 1

Lo más fácil que se me ocurre es que si D es efectivo, entonces l(D) ≤ deg(D) + 1, ya que l(K-D)-g ≤ 0.