Consecuencias formales de Riemann-Roch (se admiten varias respuestas)

Question

Esta pregunta pretende precisar lo que Riemann-Roch puede decirnos sobre un divisor en una curva, sin ningún "pensamiento geométrico". Puede ser molesto preguntarse si hay algún truco ingenioso que te estás perdiendo en un problema, y estaría bien conocer los límites del formalismo de Riemann-Roch del mismo modo que sabemos que no podemos resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales en 3 variables.

Si alguien prefiere una formalización diferente de esta pregunta, estaré encantado de recibir una respuesta a esa en su lugar. Aquí está la mía:

Situación:

S1) Div es un grupo abeliano libre generado por un conjunto infinito de letras P . [ como puntos ]
S2) D ∈ Div es "eficaz" si todos sus coeficientes son no negativos.
S3) deg: Div -> Z es el mapa de suma de coeficientes.
S4) Prin es un subgrupo distinguido de ker(deg). [ como divisores principales ]
S5) l: Div/Prin -> N es una función a los enteros no negativos. [ como la dimensión de las secciones globales ]
S6) K is an element of Div . [ como un divisor canónico ]

Relaciones ( g:=l(K) ):

R1) l(D)-l(K-D) = deg(D) + 1 - g . [ Riemann Roch ]
R2) l(D+P) = l(D) ou l(D)+1 para cualquier generador P.
R3) l(D)>0 si D es equivalente mod Prin a un divisor efectivo.
R4) Si l(D)>0 y deg(D)=0 entonces D ∈ Prin .

Pregunta A (espero que manejable): ¿Qué exactamente puede inferirse aquí sobre una de l(D) ou deg(D) ¿dado el otro?

Tal vez alguien sepa ya la respuesta, por experiencia en la resolución de problemas relacionados con las RR.

Asombrosamente, muchos otros conceptos pueden reformularse en este contexto, y podemos pedir más...

Definiciones opcionales:

O1) D es "libre" si l(D-P) = l(D)-1 para cualquier generador P .
O2) D es "muy amplia" si l(D-P-Q) = l(D)-2 para cualquier generador P,Q (no necesariamente distintos)
O3) D es "amplio" si nD es muy amplio para algunos n>0 .
O4) D es "grande" si para algunos c>0 y todos los grandes n , l(nD) cm^n

Pregunta B (se admiten respuestas parciales): ¿Qué exactamente puede deducirse aquí sobre l(D) , deg(D) la eficacia, la libertad, la (gran) amplitud y el tamaño de la D información sobre los demás?

Algunos ejemplos (véase el capítulo IV de Hartshorne):

• l(0)=1
• deg(K) = 2g-2
• Si D es muy amplio entonces deg(D)>0
• Si deg(D) 2g entonces D es gratis
• Si deg(D) 2g+1 entonces D es muy amplio
• D es amplia si deg(D)>0

Así que, ¡sí! ¿Qué pasa con Riemann-Roch?

Answer 1

No tengo tiempo para escribir una lista detallada de bonitas consecuencias formales, así que me limitaré a dar dos referencias (ninguna de las cuales parece ser tan popular como se merece). Probablemente el lugar más fácil para leer sobre las aplicaciones y trucos "estándar" usando Riemann-Roch es el libro de Rick Miranda "Algebraic Curves and Riemann Surfaces". Está escrito de forma que lo pueda leer un estudiante de licenciatura avanzada, pero incluye muchas cosas interesantes. En un nivel ligeramente superior, no puede equivocarse con el libro de Clemen "Scrapbook of Complex Curve Theory".

Answer 2

La demostración original de Riemann (modificada por Roch) mostraba que para D > 0 el espacio de diferenciales de funciones en L(D) es el núcleo de un mapa de períodos lineales de C^d--->C^g. Por lo tanto la dimensión l(D)-1 de ese núcleo satisface d-g ≤ l(D)-1 ≤ d. Equivalentemente, 1+d-g ≤ l(D) ≤ d+1. También demostró que deg(K) = 2g-2, y l(K) = g. Es trivial que d<0 implica l(D) = 0.

Roch demostró que el cokernel de ese mapa tiene dimensión l(K-D), por lo que l(D) - l(K-D) = 1+d-g.

Las consecuencias fáciles (formales) son éstas:

1) d = deg(D) > 2g-2 implica l(D) = 1+d-g, es decir, l(D) es mínimo cuando deg(D) > deg(K).

2) d = deg(D) > 2g-1 implica que D es libre, ya que l(D-P) debe bajar uno, por 1).

3) d = deg(D) > 2g implica que D es muy amplio, ya que tanto l(D-P) como l(D-P-Q) bajan.

Como estas consecuencias son fáciles, los casos interesantes son para d = deg(D) ≤ 2g-2. El primero de ellos es que K es muy amplio a menos que existan P,Q con l(P+Q) > 1.

El siguiente resultado importante, menos formal, es que para 1 ≤ d ≤ 2g-1, siempre se tiene 2.l(D)-2 ≤ d, una generalización del caso para D = K. Además, la igualdad se mantiene si y sólo si o bien D = K o bien D es múltiplo de un divisor P+Q como el anterior con l(P+Q) > 1.

Buenas fuentes para esto son Griffiths - Harris para las pruebas de Riemann y Roch, y Arbarello - Cornalba- Griffiths - Harris para los refinamientos. He escrito un artículo más largo sobre el tema disponible gratuitamente en mi página web en la página web de roy smith en el departamento de matemáticas de la universidad de georgia. Permítanme recomendar especialmente un libro fabuloso del difunto george kempf, integrales abelianas, disponible en la universidad autónoma de méxico. esta es la mejor fuente para el famoso teorema de las singularidades de "riemann kempf". en beneficio de aquellos que no lo lean, observo que el punto, derivado de las ideas de mumford, es que las singularidades de un divisor theta se modelan por las del lugar discriminante de matrices de un rango dado. Es decir, si entiendes las singularidades de los lugares de rango de las matrices, entonces también entiendes las singularidades de los divisores theta. Esto explica la estructura del libro de Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris, sobre Geometría de Curvas Algebraicas.

Answer 3

Dino Lorenzini tiene un preprint en el que considera las "estructuras de Riemann-Roch", más o menos como tú las has planteado. http://www.math.uga.edu/~lorenz/RRNoviembre11.dvi

En concreto, considera que la situación de

(S1) El grupo abeliano libre $\mathbf{Z}^n$ (vale, no es infinito... Riemann-Roch también funciona sobre un campo finito)

(S2) $R\in \mathbf{Z}^n$ un vector o divisor "efectivo" con entradas enteras coprimas

(S3) grado de un divisor $D$ con respecto a $R$ es simplemente el producto punto $R\cdot D$

(S4) los "divisores principales" se eligen para ser una red $\Lambda$ dentro de $\Lambda_R$ el entramado de vectores o divisores perpendiculares a $R$

De modo que si (S6) existe un divisor canónico, existe una función (S5) $h: \mathbf{Z}^n/\Lambda \to \mathbf{Z}_{\ge 0}$ que satisface algunas de sus relaciones y requisitos opcionales llamada "estructura de Riemann-Roch".(Esta es la proposición 2.4)

De interés y demostrado por Baker y Norine es que si tomamos $\Lambda$ para ser la imagen de la matriz LaPlacian de un grafo con $n$ vértices y $m$ bordes, obtenemos una estructura de este tipo.

Answer 4

• deg D=2g-2, l(D)=g => D=K
• deg D=1, l(D) = 2 => g=0

Si quieres un bonito hecho puramente geométrico, deducido a partir de argumentos puramente numéricos, mira Griffiths y Harris p. 258 donde muestran que una curva canónica de género 4 es la intersección de una cuádrica y una cúbica en su sistema canónico, considerando sólo h^0(nK) y h^0(P^3, n H), donde H es un hiperplano y n=1,2,3.

Answer 5

A las fuentes dadas para RR en otras respuestas, me gustaría añadir Complex Projective Varieties de Mumford. Ofrece una buena demostración, utilizando el teorema de los residuos y álgebra lineal básica.