Puntos y rectas en el plano

Question

¿Es un número real positivo $k\geq1$ existe tal que para cada conjunto finito $P$ de puntos en el plano (con la propiedad de que no hay tres puntos de $P$ se encuentran en una línea común y $|P|\geq3$ ), se puede elegir un subconjunto $Q$ de $P$ con $|Q| \geq |P|/k$ puntos y con la propiedad de que existen dos puntos diferentes $a$ y $b$ en $Q$ de forma que ninguna línea $\overline{(p,q)}$ a través de dos puntos diferentes $p,q$ de $Q\backslash\{a,b\}$ atraviesa el interior del segmento $(a,b)$ ?

Si existe tal número, ¿cuál es el número entero más pequeño $k$ ¿Cumpliendo con la propiedad?

Si tomas un conjunto $P=\{a,b,c\}$ con tres puntos, entonces puede establecer $P=Q$ ya que ninguna línea cruza el interior del segmento $(a,b)$ . Sin embargo, un contraejemplo para $k=1$ se ofrece a continuación por Reid Barton.

Answer 1

Una pregunta muy interesante. No tengo una respuesta, sólo una observación de que la propiedad que le pides a Q sólo depende del llamado "tipo de orden" de Q, un invariante combinatorio que lleva la cuenta de qué triples de puntos {a,b,c} en Q tienen la propiedad de que c está a la izquierda de la línea dirigida de a a b. El número de tipos de orden en un conjunto de tamaño n es del orden (¡n!)^4, como se ha comentado ici en mi blog (en los comentarios.) Me pregunto cuántos de ellos contienen un par de puntos que se encuentran en el mismo lado de la línea que pasa por otros dos puntos cualesquiera.

Answer 2

(Lo comentaría si pudiera.)

La recursividad está desactivada en el argumento de airplanepeanuts, por lo que veo.

No llamaré P a la configuración de Reid (ese nombre se utiliza en la pregunta) sino, digamos, una sexunx y permítanme discutir sólo el caso |P|=6^2 para simplificar. El problema es que no necesariamente tenemos que eliminar los 6 puntos de un pequeño sexunx, porque podríamos elegir a y b para estar dentro del mismo pequeño sexunx S; entonces no hay líneas entre los puntos en dos diferentes pequeños sexunxes S', S'' \neq Cruz S (a,b). Si eliges (a,b) de esa forma, los casos problemáticos son en realidad líneas entre un punto de S y un punto que no está en S.

Answer 3

Me equivoqué. Lo siento.