He empezado con la celosía perturbada sugerida en la respuesta de Dmitri y usándola creo que puedo mostrar tal $k$ no puede existir. Si se fija $k$ . Elegimos $n$ muy grande tomamos $n$ veces $n$ cuadrícula de puntos en una cuadrícula cuadrada ya que no podemos tener tres puntos en una línea perturbamos cada cantidad por una pequeña cantidad lo suficientemente pequeña como para no causar ningún punto dentro de un triángulo de otros puntos en la cuadrícula para estar fuera del triángulo o en el límite en la nueva cuadrícula. El resto de esta demostración será sobre puntos en una rejilla cuando lleguemos a cierto punto usaremos lo anterior para obtener una contradicción en el conjunto perturbado de puntos.
Para cualquier par de puntos $A$ y $B$ el número de puntos cuya distancia a la recta que los contiene es inferior a $nk^{2}$ es inferior a $\sqrt2n^{2}k^{2}$ (acotamos el número de puntos por el número de puntos cuya distancia al segmento de recta de mayor longitud que es el que une dos puntos diagonales. Este segmento de recta tiene longitud $\sqrt2n$ multiplicando por la distancia se obtiene $\sqrt2n^{2}k^{2}$ . Así que tenemos $n^2k-\sqrt2n^{2}k^{2}$ puntos cuya distancia a la línea que contiene los dos puntos es mayor que $nk^{2}$ . Ahora puedo usar el teorema de Pick para demostrar que debe haber al menos $nk^{2}/2$ puntos en el triángulo o el doble en el borde del triángulo. Utilizo la distancia del punto a la recta que contiene el segmento de recta como altitud y asumo que el segmento de recta tiene al menos longitud uno para obtener un límite inferior del área del triángulo.
Ahora bien, si alguno de estos puntos está dentro del triángulo entonces la recta que une este punto y el punto del triángulo no igual a los dos puntos del segmento debe pasar por el segmento de recta pero no podemos tener esto. Si alguno de los puntos de la red está en el segmento AB, el área aumentará en una cantidad mayor que uno por cada punto y habrá más puntos que tendrán que estar en los otros dos lados o en el interior. Así que podemos ignorar estos puntos en nuestro argumento
Ahora elijo $n$ lo suficientemente grande para que $n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2}/16$ cumple la siguiente propiedad el número de enteros cuyo factor primo es menor que $k^{-100}$ es inferior a $(n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2})k^{100}/16$ . Puedo hacer esto porque para cualquier conjunto de primos el porcentaje de números divididos por miembros de esos primos sólo va a cero a medida que n va al infinito.
Así que tenemos $n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2}$ puntos cuya distancia a la línea que contiene los dos puntos es mayor que $nk^{2}$ los dividimos en 16 conjuntos en función de si su $x$ y las coordenadas son mayores que el $x$ y $y$ coordenadas de los dos puntos. Así que tendremos un conjunto de $n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2}/16$ puntos cuya relación con las coordenadas de $x$ y $y$ es siempre la misma podemos utilizar la propiedad anterior de $n$ para obtener el número de puntos cuyo mayor factor primo en la distancia $y$ del primer punto es mayor que $k^{-100}$ y cuyo mayor factor primo en la diferencia del $y$ coordenada del segundo punto es mayor que $k^{-100}$ . Para ver esto note que el número de puntos que no satisfacen esta propiedad con respecto a la primera coordenada es $(n^{2}k-n^{2}k^{102}/16$ y el número de puntos que no satisfacen esta propiedad con respecto a la segunda coordenada es $1/16(n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{102}$ suponiendo en el peor de los casos que los conjuntos sean disjuntos y restando de $n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2}/16$ obtenemos $n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{2}/16-(n^{2}k-\sqrt2n^{2}k^{102}$ Luego hacemos lo mismo con el $x$ coordenada que termina con $1/16(n^{2}k-n^{2}k^{2}-2\sqrt2n^{2}k^{102})$ .
Queremos limitar el número de puntos de la línea $PA$ obteniendo un primo grande para dividir el diferente de la $x$ coordenadas de los dos puntos o la diferencia de las $y$ coordenadas de los dos puntos y también lo mismo para $PB$ . Sin embargo, para que esto funcione, el primo grande no puede dividir ambas coordenadas.
Así que tenemos que filtrar todos los puntos $P$ donde la diferencia del $x$ coordenada de $P$ del $x$ coordenada de $A$ es divisible por un primo $q$ superior a $k^{-100}$ y la diferencia del $y$ coordenada de $P$ del $y$ coordenada de $A$ es divisible por el mismo primo $q$ . Afortunadamente, podemos limitarlo mediante $n^{2}$ multiplicado por la serie $1/x^{2}$ con $x$ superior a $k^{-100}$ que asciende aproximadamente a $k^{100}$ y $2(k^{100})n^{2}$ es mucho menor que $1/16(n^{2}k-n^{2}k^{2}-2\sqrt2n^{2}k^{102})$ y un término de error.
El término de error puede considerarse como puntos adicionales cerca del borde de la cuadrícula de puntos cuyo $x$ coordinar y $y$ coordenada difieren de la $x$ coordinar y $y$ coordenada de $A$ por un múltiplo de $q$ . La cuestión es que algunos de los puntos cercanos al borde del cuadrado pueden no contarse. Éstos pueden delimitarse por el conjunto de puntos cuyo $x$ y $y$ las coordenadas difieren de $A$ (o $B$ (lo hacemos para ambos puntos) por un múltiplo de $q$ y una de esas diferencias es el mayor múltiplo de $q$ a la que se produce dicha diferencia. Como estos puntos se encuentran en los bordes de un cuadrado, acotamos el error de la siguiente manera para un cierto valor de $n/q$ este cuadrado tendrá menos puntos en él que en el interior, así que simplemente añadimos otra copia de la serie y ya está. Por lo demás tenemos $n/q$ es pequeño y los cocientes de los múltiplos de $q$ son limitados y podemos cubrirlos tomando todos los puntos de la cuadrícula que se encuentran en un determinado conjunto de líneas.
Para $q$ tal que $n/q$ es superior a 10, el error será inferior a la serie, ya que los puntos situados en el borde del cuadrado delimitarán el error. Así que para ambos $x$ y $y$ tomamos una copia adicional de la serie original.Si tenemos $n/q$ inferior a 10 que el error estará delimitado por el borde del cuadrado y los puntos del borde del cuadrado tendrán determinadas relaciones como $n/q$ es menor que 10 el cociente dos números menores que 10 por lo que podemos eliminar además todas las líneas a través de $A$ (y $B$ tenemos que hacerlo para cada punto)cuya pendiente sea un cociente de dos números menores que 10. Habrá menos de 100 rectas de este tipo, por lo que restaremos como máximo $100n$ . De este modo, el número restante de puntos seguirá siendo mayor que cero, ya que para los grandes $n$ $100n$ será mucho menor que una función cuadrática de $n$ y $2(k^{100})n^{2}$ es mucho menor que $1/16(n^{2}k-n^{2}k^{2}-2\sqrt2n^{2}k^{102})$ como ya se ha mencionado.
Así que tenemos al menos un punto $P$ cuya distancia a la línea que contiene $A$ y $B$ es mayor que $nk^{2}$ satisfaciendo las propiedades anteriores y por lo tanto la distancia de los dos puntos es mayor que esta cantidad para cada uno de los dos puntos en particular debe haber una coordenada de cada punto cuya distancia sea $1/\sqrt2$ esta cantidad que diferencia coordenada de estas coordenadas distancia desde $P$ debe ser divisible por un primo grande mayor que $k^{-100}$ y la otra coordenada no. pero eso limita los puntos de los segmentos de línea de $P$ a $A$ y $B$ a la distancia veces $k^{100}$ para el otro punto obtenemos una limitación similar pero por el teorema de Pick necesitamos al menos $2n^{2}k^{2}$ puntos en los bordes del triángulo para evitar que se formen puntos en el interior y se produzca una contradicción. El factor de $k^{100}$ lo impide y fuerza un punto en el interior que permanece en el interior de los puntos perturbados y, por tanto, la recta desde este punto y $P$ cruzará el segmento de línea entre $A$ y $B$ forzando una contradicción.
