Demostración de la primera derivada acotada

Question

Intento demostrar que si una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ está acotada y la segunda derivada $f''$ está acotada, entonces la primera derivada $f'$ también está acotada. Mi sugerencia es utilizar el teorema de Taylor.

Sé que para cualquier $x$ y $y$ , $f(y) = f(x) + f'(x)(y-x) + \frac{1}{2} f''(c)(y-x)^2,$ es la aproximación de Taylor donde $c$ es un punto intermedio entre $x$ y $y$ . De esto obtengo

$$f'(x)(y-x) = f(y) - f(x) - \frac{1}{2}f''(c)(y-x)^2.$$

Si $|f(x)| < C$ y $|f''(x)| < D$ son límites, entonces

$$|f'(x)| < \frac{|f(x)| + |f(y)|}{|y-x|} + \frac{1}{2} |f''(c)| |y-x| < \frac{2C}{|x-y|}+ \frac{D}{2}|x-y|.$$

Parece que estoy atascado en este punto porque ambos términos pueden ser no limitados dependiendo de $x$ y $y$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Pista:

Su desigualdad es cierta para cada $y \in \mathbb{R}$ y

$$\min_{0 < z < \infty} \left(\frac{2C}{z} + \frac{Dz}{2}\right)= 2 \sqrt{CD}$$

Answer 2

Aquí hay una solución con la expansión de Tyler: $$ \forall x\in\mathbb{R},\forall h>0,\\\ f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\eta_1)\text{ ,where $ \eta_1\in(x,x+h) $}\\ f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\eta_2)\text{ ,where $ \eta_2\in(x-h,x) $}\\ \Rightarrow f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+\frac{h^2}{2}[f''(\eta_1)+f''(\eta_2)]\\ \text{Hence, }|2hf'(x)|\leq|f(x+h)-f(x-h)|+|\frac{h^2}{2}[f''(\eta_1)+f''(\eta_2)]|\leq\\ 2\sup|f|+h^2\sup |f''| $$ Deducimos que: $$2\sup|f'|\leq\frac{2\sup|f|}{h}+h\sup|f''|$$ Desde $\sup|f^{(k)}|$ es una constante. Podemos dejar que $$h=\sqrt{\dfrac{2\sup|f|}{\sup|f''|}}$$ Deducimos que $$\boxed{\sup |f'| \le \sqrt{2}\cdot \sqrt{\sup |f| \cdot \sup|f''|}}$$ La primera derivada está acotada ya que la función y su segunda derivada están acotadas.