Espacio vectorial contable de funciones continuas sobre un espacio métrico compacto

Question

En una demostración de un teorema concreto, se afirma lo siguiente: ( $\Omega$ se supone que es un espacio métrico compacto)

"Let $H \subset C(\Omega)$ sea un espacio vectorial contable sobre $\mathbb{Q}$ que se cierra con las operaciones $\vee, \wedge$ contiene la función $1$ y es denso en C(K)"

No puedo ver cómo construir tal conjunto $H$ o expresado de otro modo: ¿Por qué puedo suponer la existencia de tal conjunto?

Observación :

Bueno, el pasaje es de un libro de Dellacherie sobre Procesos Estocásticos. Se utiliza en una prueba de la propiedad de Desintegración de Medidas y realmente se utiliza como un hecho y no como una suposición. Es decir, la prueba del teorema comienza diciendo "Sea H...." y esto no es parte de ninguna suposición subyacente a la declaración del teorema. (no creo que sea útil - pero el teorema afirma que en un espacio métrico compacto con su campo sigma de Borel la propiedad de desintegración se mantiene)

Answer 1

En el pasaje citado no se afirma que dicho conjunto exista realmente. Léase "que x sea Y" como "suponer, en aras de la argumentación, que existe algún objeto llamado x que satisface a Y".

En general, esto puede ir por varios sitios. Puede llevar a una contradicción, demostrando que tal x no existe. O puede demostrar alguna propiedad que deben tener todos los objetos de este tipo, aunque su existencia siga siendo incierta. Ejemplo: "Sea a + bi una raíz compleja de un polinomio real p ... (cadena de razonamiento) ... Entonces a - bi también es una raíz de p". No se ha afirmado que todos los polinomios reales tengan raíces complejas, sólo que cuando esas raíces existen, sus conjugados también son raíces.

No sé si existe un espacio vectorial de funciones como el descrito para todos los espacios métricos compactos, pero sin más contexto de ese pasaje, no hay razón para suponer que deba existir para seguir la cadena de razonamiento.