Sea $ X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | |x| \leq 1 \} $ con la topología euclidiana inducida $\tau$ y que $R$ sea la relación de equivalencia $(x',y')R(x,y)$ sólo si $ y=y'=0$ o $(x',y')=(x,y)$ . Diga si el espacio cociente $(X/R,\tau/R)$ es homeomorfo a $Y_k =\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2-y^2 \leq k \}$ para $k=0$ y $k=1$
¿Alguien puede mostrar cómo hacerlo? Sé que tengo que utilizar conjuntos saturados de alguna manera
Esta es la solución que me dieron, pero hay muchas cosas que no entiendo.
La función $f:X\rightarrow Y_0 $ definido por $f((x,y))=(xy,y)$ es totalmente compatible, suryectiva y continua. Además mapea conjuntos abiertos saturados en conjuntos abiertos: De hecho, un conjunto abierto A está saturado si no interseca a $(-1,1)X\{O\}$ o si lo contiene. En el primer caso f es un homeomorfismo de $ A$ con $f(A)$ en el segundo caso existe un $\epsilon$ tal que $Q=(-1 ,1) X (-\epsilon , -\epsilon) \subseteq A $ . Ahora $f(Q)$ es un conjunto abierto que contiene $O$ y $f(A)$ está abierto y $f_R$ i Todo esto implica $(X/R-\{[O]\},\tau/R)$ no está conectado, mientras que $Y_1$ permanece conectado si se elimina un punto.
*nota : no he podido encontrar una traducción al español para el concepto de "función totalmente compatible". Estoy haciendo una traducción literal aquí, pero la definición es la siguiente:
Sea f una función $f:X \rightarrow Y$ y $R$ una relación de equivalencia. Se dice que f es compatible con $R$ si $xRy$ implica $f(x)=f(y)$ ; $f$ se dice totalmente compatible si la implicación es en ambos sentidos. Esto permite definir una función $f_R: X/R \rightarrow Y$ de modo que $f=f_R o \Pi $ paloma $\Pi$ es la proyección al espacio cociente $\Pi: X \rightarrow X/R$ ,
Entonces hay un teorema que es lo que nos Sea $f: X \rightarrow Y$ ser compatible con $R$ entonces
1) $f_R$ es suryectiva si $f$ es suryectiva
2) $f_R$ es inyectiva si $f$ es totalmente compatible
3) $f:(X,\tau)\rightarrow (Y,\tau')$ es continua si $f_R$ es continua
4)f mapea conjuntos abiertos saturados a conjuntos abiertos sif $f_R$ es una función abierta
lo que no entiendo de la prueba:
1) ¿Cómo se me ocurrió la expresión para la función que asigna $X$ a $Y_0$ ? Dibujé los decorados, pero aún no tengo ni idea
2) ¿Cómo se demuestra que f es suryectiva?
3) ¿por qué f(A) es abierto? ¿por qué dicen que f es un homeomorfismo de A con f(A), todavía tenemos que demostrar que f es abierto?
4) ¿por qué implica esto $(X/R-\{[O]\},\tau/R)$ no está conectado y ¿por qué eliminan la clase del origen? al eliminar un punto ¿no estoy cambiando todas las conclusiones anteriores?
5) La última frase de la prueba se refiere al caso k=1, pero todo el trabajo anterior se hizo para k=0, ¿por qué suponen que sigue siendo válido o cómo lo demuestro haciendo algo parecido para k=1? con k=1 $Y_1$ es ahora la región entre una hipérbole y la función f definida al principio ya no es válida
