$f$ continua en $(a,b)$ y $|f|$ diferenciable en $(a,b)$ es $f$ diferenciable en $(a,b)$ ?

Question

Deje que $f:(a,b) \to \mathbb R$ ser una función continua de tal manera que $|f|$ es diferenciable en $(a,b)$ entonces es $f$ diferenciable en $(a,b)$ ?

Answer 1

Los únicos "puntos problemáticos" pueden ser los $x_0$ es donde $f$ se convierte en $0$ (si es el caso), es decir, los puntos con $x_0$ con $f(x_0)=0$ . En tal punto $|f|$ tiene un mínimo local (¿por qué?) y por lo tanto $|f|'(x_0)=0$ (ya que $|f|$ es diferenciable por suposición). Ahora, utilizando la definición límite del derivado $$|f|'(x_0)= \lim_ {h \to 0} \frac {|f|(x_0+h)-|f|(x_0)}{h}= \lim_ {h \to 0} \frac {|f|(x_0+h)}{h}= \begin {cases} \lim_ {h \to 0^-} \frac {-f(x_0+h)}{h} \\\lim_ {h \to 0^+} \frac {f(x_0+h)}{h} \end {cases}$$ Desde $|f|$ es diferenciable en $x_0$ con $|f|'(x_0)=0$ estos dos límites existen y son iguales a $0$ es decir $$- \lim_ {h \to 0^-} \frac {f(x_0+h)}{h}= \lim_ {h \to 0^+} \frac {f(x_0+h)}{h}=0$$ lo que implica que $f$ también se puede diferenciar en $x_0$ con $f'(x_0)=0$ . (Todo esto implica en particular que $x_0$ es un punto de la silla de montar). Para todos los demás puntos, la implicación es bastante directa. Por lo tanto, la respuesta es sí.

Answer 2

Veamos qué sucede en los puntos donde $f(x) \ne0 $ . Hay un barrio de $x$ donde $f$ tiene el mismo signo que $f(x)$ así que para $y$ en este vecindario, $|f(y)|=f(y)$ si $f(x)>0$ o $|f(y)|=-f(y)$ si $f(x)<0$ .

En el caso de que $f(x)>0$ Tenemos $$ \lim_ {y \to x} \frac {f(y)-f(x)}{y-x}= \lim_ {y \to x} \frac {|f(y)|-|f(x)|}{y-x} $$ que existe finito por suposición. En el caso de que $f(x)<0$ tenemos $$ \lim_ {y \to x} \frac {f(y)-f(x)}{y-x}= \lim_ {y \to x} \frac {-|f(y)|+|f(x)|}{y-x}= - \lim_ {y \to x} \frac {|f(y)|-|f(x)|}{y-x} $$ que de nuevo existe finito por suposición.

Supongamos que $f(x)=0$ . Entonces, por supuesto $$ \lim_ {y \to x} \frac {|f(y)|}{y-x} $$ existe de forma finita. Tenga en cuenta que $$ \lim_ {y \to x^-} \frac {|f(y)|}{y-x} \le0 , \qquad \lim_ {y \to x^+} \frac {|f(y)|}{y-x} \ge0 , $$ así que concluimos que este límite es $0$ .

Ahora, para $y>x$ , $$ - \frac {|f(y)|}{y-x} \le\frac {f(y)}{y-x} \le\frac {|f(y)|}{y-x} $$ y, al tomar el límite de $y \to x^+$ tenemos que $$ \lim_ {y \to x^+} \frac {f(y)}{y-x}=0 $$ De manera similar para el límite $y \to x^-$ porque, para $y<x$ , $$ \frac {|f(y)|}{y-x} \le\frac {f(y)}{y-x} \le - \frac {|f(y)|}{y-x} $$

Answer 3

Podemos tratar fácilmente con los puntos $x_0$ donde $f(x_0) \not = 0$ .

Toma un punto $x_0$ de tal manera que $ f(x_0)=0$ .

lemma : $ \lim _{x \rightarrow x_0} g(x) = 0 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow x_0}| g(x)|=0$

Primero note que si $|f(x_0)|=0$ entonces $x_0$ es un mínimo local para $|f|$ así que $|f|'(x_0)=0$ . Por lo tanto, usando el lema que tenemos $$ \lim _{ x \rightarrow x_0} \frac {|f(x)|}{x-x_0} =0 \Leftrightarrow \lim _{ x \rightarrow x_0} \left | \frac {f(x)}{x-x_0} \right | =0 \Leftrightarrow \lim _{ x \rightarrow x_0} \frac {f(x)}{x-x_0} =0$$

Answer 4

Escribamos $g(x)= \left |f(x) \right |$ para ahorrarse el tecleo.

Primero, deshagámonos del caso fácil: Si $f(x_0) \ne 0$ entonces, debido a la continuidad, hay un intervalo abierto $I$ alrededor de $x_0$ de tal manera que $f(x) \ne 0$ para cualquier $x \in\mathbb I$ . Desde $f(x)$ es real, esto implica que $f(x)=g(x)$ o $f(x)=-g(x)$ para todos $x \in I$ En ambos casos $f$ es obviamente diferenciable en $x_0$ .

Así que ahora consideremos el caso $f(x_0)=0 \iff g(x_0)=0$ .

Sabemos por definición que $g(x) \ge 0$ y $g(x)$ es diferenciable por suposición. Ahora mostraremos que para cualquier $x_0$ con $g(x_0)=0$ también tenemos $g'(x_0)=0$ :

Por un lado, $$g'(x_0) = \lim_ {x \to x_0+0} \frac {g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \lim_ {x \to x_0+0} \frac {g(x)}{x-x_0}$$ Ahora bien, desde $g(x) \ge 0$ para $x>x_0$ claramente $ \frac {g(x)}{x-x_0} \ge 0$ y así $g'(x_0) \ge 0$ .

Por otro lado, $$g'(x_0) = \lim_ {x \to x_0-0} \frac {g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \lim_ {x \to x_0-0} \frac {g(x)}{x-x_0}$$ La argumentación análoga a la anterior da $g'(x_0) \le 0$ . Por lo tanto $g'(x_0)=0$ .

Ahora $$ \lim_ {x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_ {x \to x_0} \frac {f(x)}{x-x_0}$$ Considere cualquier secuencia $(x_n)$ convergiendo a $x_0$ . Entonces, obviamente $$ \frac {-g(x_n)}{x_n-x_0} \le \frac {f(x_n)}{x_n-x_0} \le \frac {g(x_n)}{x_n-x_0}$$ Pero el lado izquierdo y el derecho convergen en $0$ y por lo tanto también la secuencia en el centro. Ya que esto se aplica a cualquier $(x_n)$ se deduce que también $$ \lim_ {x \to x_0} \frac {f(x)}{x-x_0}=0$$ en otras palabras, $f'(x_0)$ existe y es $0$ .

Answer 5

Sí, lo es. Una pista para probar esto: Para $x \in (a,b)$ considerar los casos $f(x) \ne 0$ y $f(x)=0$ . En el primer caso, usted tiene $|f|=f$ o $|f|=-f$ en un barrio de $x$ y en el último caso, $|f|'(x)=0$ .