¿Cómo puedo demostrar que $\tan{\frac{A}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{C}{2}} = \frac{4(R +r)}{p}$ ?

Question

Básicamente, me gustaría saber cómo probar la relación

$\tan{\frac{A}{2}} + \tan{\frac{B}{2}} + \tan{\frac{C}{2}} = \frac{4(R +r)}{p}$

en cualquier

$ABC$ .

$p$ = $\frac{a + b + c}{2}$

$R$ = radio del círculo circunscrito

$r$ = radio del círculo inscrito

$a$ = el lado BC

$b$ = el lado CA

$c$ = el lado AB

$A$ = el ángulo BAC

$B$ = el ángulo ABC

$C$ = el ángulo ACB

Answer 1

Sugerencia: Utilice $$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$$ donde $$s=\frac{a+b+c}{2}$$ y $$A=\frac{abc}{4R}$$ y $$A=sr$$

Answer 2

En $\dfrac{A+B}2=\dfrac\pi2-\dfrac C2$

$\sin\dfrac{A+B}2=\sin\left(\dfrac\pi2-\dfrac C2\right)=\cos\dfrac C2$

$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac B2+\tan\dfrac C2=\dfrac{\cos\dfrac C2}{\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2}+\tan\dfrac C2=\dfrac{\cos^2\dfrac C2+\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\sin\dfrac C2}{\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\cos\dfrac C2}$

Para el numerador

$\cos^2\dfrac C2+\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\sin\dfrac C2$

$=1-\sin\dfrac C2\left(\sin\dfrac C2-\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\right)$

$=1-\sin\dfrac C2\left(\cos\dfrac{A+B}2-\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\right)$

$=1+\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2$

De nuevo

$p=\dfrac{a+b+c}2=R(\sin A+\sin B+\sin C)=4R\cos\dfrac A2\cos\dfrac B2\cos\dfrac C2$

Finnally use este

$r=4R\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2$